При відомому математичному сподіванні

Довірчий інтервал для дисперсії нормального розподілу

Статистична модель. Нехай розподіл ознаки Х у генеральній сукупності є нормальним з параметрамиаі Припустимо, що математичне сподівання (генеральне середнє) відоме. Потрібно знайти довірчий інтервал для невідомої дисперсії і середнього квадратичного відхилення нормально розподіленої випадкової величини Х, якщо відоме її математичне сподівання а із заданим рівнем значущості .

Розглянемо вибіркову дисперсію повторної вибірки , яка характеризує варіацію ознаки відносно генерального середнього а:

або

Для побудови відповідних довірчих інтервалів введемо статистику

.

Враховуючи, що , , , легко показати, що , . Отже, величини мають нормований нормальний розподіл

За означенням розподіл суми квадратів n незалежних випадкових величин , кожна з яких має стандартний нормальний розподіл , представляє розподіл з ступенями свободи.

Таким чином, статистика має розподіл з ступенями свободи. Розподіл не залежить від невідомих параметрів випадкової величини , а залежить лише від числа ступенів свободи . Критичне значення , для якого ймовірність того, що випадкова величина, яка має розподіл з ступенями свободи перевищить , тобто

визначається квантилем розподілу.

Якщо – повторна вибірка із нормально розподіленої генеральної сукупності, то випадкова величина або має розподіл з ступенями свободи. Тому для заданої довірчої ймовірності можна записати

. (2.64)

Величини звичайно вибирають таким чином, щоб імовірності подій і були однакові:

.

Перетворивши подвійну нерівність в дужках у (2.64) до еквівалентного вигляду

,

одержимо формулу для довірчої ймовірності генеральної дисперсії:

, (2.65)

а також для середнього квадратичного відхилення

. (2.66)

У величини і обчислюються як квантилі порядку і розподілу з ступенями свободи за допомогою функції .

При використанні функції слід враховувати, що . Оскільки , то умова рівносильна умові

.

Таким чином, критичні значення знаходимо із виразів

(2.67)

Нижня і відповідно верхня границі довірчого інтервалу для дисперсії дорівнюватимуть

(2.68)

Аналогічно для середнього квадратичного відхилення

(2.69)

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 62; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!