При малій вибірці

Довірчий інтервал для математичного сподівання

На практиці часто доводиться мати справу з вибірками невеликого об’єму . У цьому випадку наведений вище наближений метод побудови інтервальної оцінки для генеральної середньої не застосовний у силу двох обставин:

· не обгрунтованим стає припущення про нормальний розподіл вибіркового середнього , оскільки воно базується на центральній граничній теоремі при великих n;

· не обгрунтованою стає заміна невідомої генеральної дисперсії на її точкову оцінку , оскільки в силу закону великих чисел ця заміна можлива лише при великих n.

Задача побудови довірчого інтервалу для генерального середнього при малих вибірках може бути вирішена, якщо генеральна сукупність розглядуваної ознаки має нормальний розподіл.

Якщо ознака (випадкова величина Х) має нормальний розподіл з параметрами , , тобто , то вибіркове середнє при будь-якому (а не тільки при ) має нормальний розподіл .

Таким чином, якщо була б відома генеральна дисперсія то довірчий інтервал для математичного сподівання при малих можна було б побудувати аналогічно вищенаведеному алгоритму. Зауважимо, що у цьому випадку нормальне відхилення вибіркового середнього

має стандартний нормальний розподіл , тобто нормальний розподіл з математичним сподіванням 0 і дисперсією 1.

Дійсно, використовуючи властивості математичного сподівання і дисперсії, одержимо:

,

.

Однак на практиці майже завжди генеральна дисперсія (як і оцінюване середнє а) невідома. Якщо заміна її “найкращою” оцінкою за вибіркою, а саме, виправленою вибірковою дисперсією , то інтерес представляє розподіл вибіркової статистики

. (2.50)

Чисельник виразу, як показано вище, має стандартний нормальний розподіл . Доведено, що випадкова величина має розподіл з ступенями свободи. Цей розподіл не залежить від невідомих параметрів розподілу випадкової величини Х, а залежить від числа , яке називається числом ступенів свободи.

Число ступенів свободи визначається як загальне число n спостережень (варіант) випадкової величини Х мінус кількість рівнянь m, які пов’язують ці спостереження, тобто .

Так, наприклад, при визначенні числа ступенів свободи розподілу статистики одна ступінь свободи „губиться” при визначені вибіркового середнього (n спостережень пов’язані з одним рівнянням ).

Використовуючи -розподіл Стьюдента, можна знайти таке критичне значення що ймовірність того, що статистика за абсолютною величиною не перевищить величину дорівнює :

(2.60)

У Mathcad квантиль -розподілу Стьюдента визначається за функцією у вигляді

, де . (2.61)

Формула (2.39) для визначення довірчого інтервалу для малої вибірки може бути представлена у вигляді:

, (2.62)

де – функція -розподілу Стьюдента, – гранична похибка малої вибірки. Довірчий інтервал для генерального середнього, як і раніше, знаходиться за формулою:

(2.63)

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 46; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!