Довірчий інтервал для математичного сподівання

нормального розподілу a при відомому σ

При великому об’ємі вибірки (n→∞) розподіл вибіркових характеристик (статистик) необмежено наближається до нормального (практично при розподіл вибіркового середнього можна вважати приблизно нормальним).

Статистична модель. Нехай генеральна сукупність (випадкова величина Х) розподілена нормально з невідомим математичним сподіванням а і відомим середнім квадратичним відхиленням . Треба оцінити невідоме математичне сподівання a (генеральне середнє арифметичне) за вибірковим середнім і знайти довірчий інтервал з довірчою ймовірністю .

Для повторної вибірки вибіркові значення є незалежні випадкові величини, розподілені як і величина (генеральна сукупність) за нормальним законом. Відносно випадкових величин і відомо наступне:

· математичне сподівання дорівнює а, дисперсія :

, = .

· оскільки величини розподілені нормально, то і їх сума (середнє арифметичне)

також розподілена за нормальним законом з параметрами

.

· випадкова величина розподілена за нормальним законом з параметрами 0 і 1 і розподіл не залежить від оцінюваного параметра а.

Задамо довірчу ймовірність і визначимо величину із рівняння

.

Оскільки нормально розподілена величина з параметрами a і , то ймовірність того, що буде дорівнювати

(2.39)

де – функція Лапласа (інтеграл ймовірностей), а дорівнює:

. (2.40)

Величину визначаємо із рівності

або

де рівень значущості.

У Mathcad визначається як квантиль нормованого нормального розподілу порядку за функцією qnorm():

(2.41)

Знайшовши із формули (2.41), визначаємо граничну похибку оцінки :

. (2.42)

Обчисливши , одержуємо, що з імовірністю виконана нерівність

або (2.43)

На рис 2.3 показано, що випадкова величина , яка має стандартний нормальний розподіл, з імовірністю приймає значення, що попадають в інтрервіл , отже, з імовірністю виконується нерівність (2.43).

Рис. 2.3. Довірчий інтервал для математичного сподівання

Таким чином, інтервал є довірчим інтервалом для математичного сподівання нормального розподілу. Смисл цього співвідношення такий: з довірчістю можна стверджувати, що довірчий інтервал покриває невідоме середнє арифметичне генеральної сукупності.

Для безповторної вибірки об’єму n із генеральної сукупності об’єму N, представляє собою суму залежних випадкових величин. Однак і в цьому випадку при n→∞ закон розподілу як завгодно близько наближається до нормального. При цьому середнє квадратичне відхилення дорівнює

,

значення якого підставляється у (2.42.). Отже, і для безповторної вибірки довірчий інтервал для a має вигляд (2.43).

Формула (2.42) зв’язує між собою три величини: довірчу ймовірність , граничну похибку вибірки і об’єм вибірки n. У кожній конкретній задачі дві із цих величин задаються і визначається третя. У результаті одержуємо три типи задач:

1. Дані n і , визначається .

2. Дані n і , визначається .

3. Дані і , визначається n.

Перші дві задачі зв’язані з аналізом результатів вже зробленої вибірки даного об’єму n, отже, і з заданою точковою оцінкою .

Ціллю розв’язання задач третього типу є розрахунок необхідного об’єму вибірки n, який забезпечить задану граничну похибку вибірки при вибраній величині довірчої ймовірності

Перша задача – визначення точності оцінки δ – є задача побудови довірчих інтервалів для оцінок параметрів розподілів, що розглядалась вище. Розглянемо тепер другу і третю задачі.

Алгоритм визначення довірчої ймовірності γ

Якщо заданий об’єм вибірка n і гранична похибка вибірки і необхідно визначити довірчу ймовірність γ, то алгоритм розв’язку задачі наступний:

· за формулою (2.40) визначаємо ;

· імовірність знаходимо за формулою .

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 96; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!