Метод моментів

Метод моментів ґрунтується на тому, що невідомі параметри теоретичного розподілу (розподілу генеральної сукупності) визначаються із рівнянь, які дістаються прирівнюванням важливіших числових характеристик (моментів) теоретичного розподілу відповідним числовим характеристикам емпіричного розподілу. Так, нехай заданий, наприклад, вид теоретичного розподілу , який визначається невідомим параметром . Для знаходження одного параметра необхідне одне рівняння відносно даного параметра. Для цього використовується момент 1-го порядку (математичне сподівання) теоретичного розподілу і відповідна числова характеристика емпіричного розподілу – вибіркове середнє. Знаходимо математичне сподівання як функцію від :

і функцію вибірки:

Прирівнюючи їх, одержуємо рівняння для визначення оцінки невідомого параметра :

(2.28)

Для знаходження оцінок двох невідомих параметрів , звичайно беруть математичне сподівання і дисперсію теоретичного розподілу та відповідні їм числові характеристики емпіричного розподілу – вибіркове середнє і вибіркову дисперсію . Одержують два рівняння:

(2.29)

Розв’язуючи цю систему, знаходять відповідні оцінки .

Оцінки методу моментів звичайно є слушними, однак за ефективністю вони не є «найкращими». Тим не менш, метод моментів часто використовується на практиці, оскільки приводить до порівняно простих обчислень.

Приклад 2.2. Знаходження методом моментів оцінки невідомого параметра експоненціального розподілу.

Статистична модель. Генеральна сукупність має експоненціальний розподіл із щільністю розподілу , де – невідомий параметр. Вибіркові значення узяті із однієї і тієї ж генеральної сукупності. Знайдемо методом моментів оцінку невідомого параметра розподілу .

Розв’язання. Визначимо математичне сподівання експоненціального розподілу:

.

Далі по вибірці знаходимо вибіркове середнє емпіричного розподілу :

.

Із рівняння

знаходимо оцінку параметра :