Метод максимальної правдоподібності

Моделювання вибірки об’єму із генеральної сукупності розподіленої за нормальним законом з параметрами і одержання варіаційного ряду

Фрагмент вибірки

Середнє арифметичне і середнє квадратичне

Оцінки параметрів розподілу

◄

Одним із найбільш універсальних методів одержання оцінок параметрів розподілів генеральної сукупності є метод максимальної правдоподібності.

Основу метода складає функція правдоподібності, яка виражає щільність імовірності (імовірність) сумісної появи результатів вибірки :

(2.30)

Згідно з методом максимальної правдоподібності за оцінку невідомого параметра приймається таке його значення , яке максимізує функцію . Величина , при якій функція правдоподібності досягає максимального значення, називається оцінкою максимальної правдоподібності.

Природність такого підходу до визначення статистичних оцінок випливає із смислу функції правдоподібності, яка при кожному фіксованому значенні параметра є мірою правдоподібності одержання вибірки . Оцінка є такою, що вибірка , яка одержана у результаті спостережень, є найбільш вірогідною. Знаходження оцінки спрощується, якщо максимізувати не саму функцію , a , оскільки максимум обох функцій досягається при одному і тому ж значенні .

Для одержання оцінки максимальної правдоподібності треба розв’язати рівняння:

.

Якщо потрібно оцінити не один, а декілька параметрів , то оцінка максимальної правдоподібності цих параметрів знаходиться із системи рівнянь

Достоїнство методу максимальної правдоподібності полягає у тому, що для широкого класу розподілів він приводить до оцінок, які є слушними, асимптотично ефективними, мають асимптотично нормальний розподіл і, якщо для параметра існує ефективна оцінка, то рівняння правдоподібності має єдиний розв’язок, який співпадає з нею. Однак оцінка максимальної правдоподібності може виявитись зсуненою.