Точкові оцінки математичного сподівання і дисперсії

ØНехай – деяка статистична оцінка, одержана по вибірці , і яка оцінює невідомий параметр розподілу генеральної сукупності. Якщо оцінка визначається одним числом , то її називають точковою; якщо обчислюються дві величини і такі, що , то оцінку для називають інтервальною, а величини , – границями інтервалу.

Нехай випадкова величина X (генеральна сукупність) має математичне сподівання і дисперсію Обидва ці параметри невідомі. Над X проводяться n спостережень і добувається вибірка . Необхідно знайти незсунені і слушні оцінки параметрів і .

За оцінку математичного сподівання природно прийняти вибіркове середнє :

. (2.25)

Ця оцінка є слушною: згідно з законом великих чисел збігається за ймовірністю до . Оцінка є також і незсуненою, оскільки:

У випадку нормального розподілу з параметрами оцінка , як було сказано раніше, також і ефективна.

Дійсно ,

Для обчислення ефективності визначимо ще величину для . Покладаючи

знаходимо

За формулою для ефективності оцінки знаходимо

Отже, оцінка математичного сподівання нормального розподілу є ефективною.

Визначимо тепер дисперсію За оцінку візьмемо вибіркову дисперсію:

(2.26)

Ця оцінка є слушною. Щоб це показати, приведемо її до вигляду:

,

де .

Оскільки згідно з законом великих чисел

,

,

Що й означає слушність оцінки . Знайдемо математичне сподівання :

Тут використаний той факт, що

Таким чином оцінка є зсуненою оцінкою дисперсії генеральної сукупності. Щоб ліквідувати зсуненність, потрібно ввести поправку . Одержуємо:

(2.27)

Цю оцінку називають виправленою вибірковою дисперсією. Вона є незсуненою і слушною. Величину називають поправкою Бесселя. При малих n ця поправка значно відрізняється від одиниці. При збільшенні n вона швидко прямує до одиниці та при практично дорівнює одиниці.

У загальному випадку оцінка дисперсії не є ефективною. Для нормального розподілу ефективність її дорівнює ; таким чином, при вона асимптотично ефективна.

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 80; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!