Модели временных рядов с периодической

Решение.

T

Y

Модели тренда на основе МНК.

1.4.1. Виды моделей тренда.

Важной задачей многих исследований является выявление общей долговременной тенденции‑тренда.

Процесс нахождения тренда называют выравниванием временного ряда.

Для выражения тренда применяются различные аналитические модели, с помощью которых основная тенденция развития представляется в виде некоторой математической функции от времени:

.

Время ‑ условный параметр, который объединяет в себе всё множество факторов, определяющих развитие данного процесса.

Временной ряд в этом случае представляется как сумма двух компонент:

,

где f (t) - тренд в виде функции от времени;

E_t - остаточная случайная компонента.

В экономическом анализе используются для математического выравнивания временного ряда следующие виды функций:

1) ŷ _t = f ₀ + a ₁ t - линейный тренд,.

a ₁ - параметр модели, равный среднегодовому (если t - годы) абсолютному изменению величины y (если t – годы) a ₁ > 0.

Рис. 1.7 Тенденция роста во временном ряду.

Рис. 1.8 Тенденция снижения во временном ряду.

Рис. 1.9 Параболический тренд

3) - нелинейный тренд, полином 3-ей степени.

Рис. 1.10 Кубическая парабола.

Кроме полиномов в экономическом анализе используют и другие виды функций.

4) - экспоненциальная функция.

Рис. 1.11 экспоненциальная функция роста

( - среднегодовой коэффициент роста).

5) - степенная функция роста.

Рис. 1.12 Степенная модель.

6) - логистическая кривая, для отражения процессов с "насыщением".

Рис. 1.13 График логистической кривой.

Для проверка наличия тренда во временном ряду рекомендуется воспользоваться критерием Кендела:

,

где n - число уровней ряда;

p - число случаев, при которых y_j > y_i, a j > i;

τменяется от -1 до +1. Знак минуса указывает на наличие падающего тренда, плюс - возрастающего. Чем ближе к , тем более четко проявляется тренд во временном ряду.

С целью осуществления проверки нулевой гипотезы H ₀ равенства нулю генерального коэффициента Кендела при конкурирующей гипотезе о неравенстве нулю этого коэффициента при заданном уровне значимости вычисляют критическую точку:

T кр= Z кр ,

Где: Z кр - критическая точка двусторонней критической области, определяемая по таблице функции Лапласа.

Значение Ф (Z кр) вычисляется из соотношения:

1 - α

Ф (Z кр) = -------, где α - уровень значимости.

Если > T кр, то нулевую гипотезу отклоняют.

Если < T кр, то нет основания отклонить нулевую гипотезу.

Выбор "наилучшей" кривой осуществляется на основе или визуального анализа (на "глазок" по графику), или на основе критерия:

,

где m – число параметров функции тренда.

Та функция, для которой величина S будет меньше, считается лучшей. Используют так же коэффициент несовпадения Тейла:.

Лучшей будет считаться функция, для которой коэффициент будет меньше. Используют также оценку средней абсолютной и относительной погрешности.

Используют и различные аналитические критерии:

a) для полиномов k -ой степени - равенство конечных разностей k -го порядка;

б) для экспоненты - равенство первых разностей логарифмов уровней;

в) для логистической кривой - первые разности должны иметь распределение близкое к нормальному.

Для численной оценки параметров моделей тренда, как правило, используется метод наименьших квадратов (МНК), на основе которого получают системы нормальных уравнений для той или иной модели:

1) для нахождения параметров α₀ и α₁ модели линейного тренда

Система нормальных уравнений имеет вид:

2) для модели (2) система нормальных уравнений имеет вид:

Для степенной и показательной функций для применения классического МНК необходима линеаризация функций путем логарифмирования. Параметры логистической функции определяются специальными методами.

1.4.2.Общая схема и этапы прогнозирования на основе эктраполяции тренда.

Задача разработки прогноза на основе экстраполяции может появиться как результат анализа управленческой ситуации, вследствие которого возникла проблема получения прогнозной информации о некотором объекте.

На первом этапе исследования было решено получить информацию путем пассивного прогнозирования, т. е. методом экстраполяции.

Основные этапы проведения прогнозного исследования методом экстраполяции.

1. Анализ ситуации.

1.1.Выдвижение гипотез о возможном развитии исследуемого объекта в ближайшем будущем.

1.2.Выявление и общий анализ факторов, благоприятствующих или препятствующих развитию объекта.

1.3.Анализ вопроса об инерционности развития объекта.

1.4.Анализ состояния информационной базы, затрат на сбор информации.

1.5. Вывод.

2. Постановка задачи.

2.1.Установление или уточнение экономического показателя, наиболее полно характеризующего объект прогнозного исследования.

2.2.Определение базы прогноза (периода времени в прошлом, на базе которого будет собираться информация о прогнозном объекте).

2.3.Определение допустимого периода упреждения.

2.4.Определение шага базы прогноза (год, месяц, неделя, день и т.д.).

2.5. Определение содержания уровней временного ряда (абсолютные, относительные, средние, интегральные и т. д.).

2.6. Вывод.

3.Построение модели тренда.

3.1.Сбор и анализ данных.

3.1.1.Оформление данных в таблицу.

3.1.2.Анализ данных и выбор формы модели.

3.1.2.1.Визуальный анализ. Построение и анализ графика. Вывод на основе визуального анализа.

3.1.2.2. Аналитические методы обоснования выбора модели тренда:

а) сглаживание временного ряда, применение скользящих средних;

б) расчет конечных разностей (для полиномов);

в) использование аналитических критериев. Общий вывод.

3.2. Количественная оценка параметров модели тренда на основе метода наименьших квадратов.

4. Проверка качества модели.

5.Прогнозирование экономического показателя на основе модели тренда путём экстраполяции.

Пример:

Постановка задачи.

Имеются квартальные данные о доходности государственных ценных бумаг (Нидерланды) за период с 1997г. по 2000г.

Построить модель тренда и определить вероятную доходность ценных бумаг в четырех кварталах 2001г.

1. Проведем визуальный анализ данных

На основе графического анализа данных можно выдвинуть гипотезу о наличии понижательной тенденции. Проверим эту гипотезу на основе аналитического критерия Кендела.

2. Расчет критерия Кендела.

Воспользуемся критерием Кендела, который представляет собой аналитический прием установления тренда во временном ряду:

Проверим статистическую значимость t. Для этого найдем:

.

Для a = 0,05 имеем:

По таблице функции Лапласа находим Z _кр:

.

Тогда:

,

Значение t = - 0,93. Сравним его с T_кр: следовательно, t статистически значим. Отрицательное значение t свидетельствует о наличии падающего тренда во временном ряду.

3. Вычисление конечных разностей.

Вычислим первые и вторые конечные разности и среднюю арифметическую вторых разностей:

y	D(1)	D(2)
7,75
7,27	-0,48
7,06	-0,21	0,27
6,70	-0,36	-0,15
6,56	-0,14	0,22
6,71	0,15	0,29
6,57	-0,14	-0,29
6,14	-0,43	-0,29
5,87	-0,27	0,16
5,95	0,08	0,35
5,77	-0,18	-0,26
5,63	-0,14	0,04
5,15	-0,48	-0,34
5,11	-0,04	0,44
4,75	-0,36	-0,32
4,49	-0,26	0,1

Близость к нулю средней арифметической вторых конечных разностей позволяет принять гипотезу о линейности тренда.

4. Количественная оценка параметров модели тренда на основе метода наименьших квадратов.

Для решения системы нормальных уравнений вида:

осуществим дополнительные расчеты и оформим их в виде таблицы:

		t	y	y´ t	t´ t
			7,75	7,75
			7,27	14,54
			7,06	21,18
			6,70	26,80
			6,56	32,80
			6,71	40,26
			6,57	45,99
			6,14	49,12
			5,87	52,83
			5,95	59,5
			5,77	63,47
			5,63	67,56
			5,15	66,95
			5,11	71,54
			4,75	71,25
			4,49	71,84
			97,48	763.38

Теперь система имеет вид:

Из решения системы получим оценки параметров:

a₀ =7,7225, а₁ = -0,1918

Линейное уравнение тренда имеет вид:

5. Проверка качества модели.

Проверка качества модели осуществляется на основе оценки погрешностей:

, , .

Погрешность 2,3% является вполне удовлетворительной, коэффициент Тейла близок к нулю. Модель можно использовать для прогноза.

6. Построение прогноза методом экстраполяции тренда.

Рассчитаем значение доходности ценных бумаг на четыре квартала 1999г.:

компонентой.

Для анализа временных рядов с периодической компонентой (циклической или сезонной) в экономических исследованиях применяют ряд методов, некоторые будут рассмотрены ниже.

Довольно широкое распространение получили в анализе нестационарных временных рядов с периодической компонентой модели с аддитивной и модели с мультипликативной компонентой.

В этих моделях временной ряд разлагается на три компоненты: тренд - Т, сезонную компоненту S и случайную компоненту или погрешность - Е. В аддитивных моделях уровни временного ряда представлены как сумма этих компонент: У=Т+S+Е,

а в мультипликативных моделях как произведение компонент:

У=Т´ S´ Е.

Модели с аддитивной компонентой применяются в тех случаях, когда характер периодических колебаний относительно тренда примерно одинаков в течение анализируемого периода времени.

Рис. 1.14 Модель с аддитивной компонентой.

Если же амплитуда колебаний относительно тренда изменяется с течением времени (увеличивается или уменьшается), то в этих случаях следует отдать предпочтение модели с мультипликативной компонентой.

Рис. 1.15 Модель с мультипликативной компонентой.

1.5.1. Анализ модели с аддитивной компонентой.

Этапы построения модели.

1.Анализ данных.

Построение графика на основе исходных данных.

Визуальный анализ данных на основе графика, вывод о возможности использовать аддитивную модель.

2. Расчет сезонной компоненты.

2.1. Расчет скользящей средней с шагом 4.

2.2. Центрирование скользящей средней.

2.3. Определение сезонной компоненты путем вычитания из уровней ряда значений центрированной скользящей средней за соответствующий момент времени:

.

2.4. Расчет средних значений сезонной компоненты по кварталам.

2.5. Корректировка средних значений сезонной компоненты.

3. Определение тренда.

3.1. Десезонализация данных. На этом шаге от всех уровней ряда вычитают соответствующее значение скорректированной сезонной компоненты, получают значения, содержащие тренд и случайную компоненту:

.

3.2. Построение модели тренда методом наименьших квадратов на основе десезонализированных данных.

4. Определение качества модели и расчет ошибок.

5. Построение прогноза с учетом сезонных колебаний.

5.1. Расчет прогнозных значений на основе модели тренда.

5.2. Корректировка прогноза на сезонную компоненту.

Пример.

Фирма производит продукцию, которую реализует на внешнем рынке. Данные по экспорту приведены в таблице.

Построить прогноз объема экспорта продукции на II квартал IV года.

Решение:

1. Анализ данных.

Строим график на основе исходных данных:

Визуальный анализ графика позволяет сделать вывод о возможности использования аддитивной модели, так как размах вариаций фактических значений относительно линии тренда не меняется. Величину Y можно представить следующим образом:

2. Расчет сезонной компоненты.

Процедуры этого этапа включают расчет скользящей средней с шагом, равным 4, центрирование скользящей средней, оценку сезонной компоненты на основе вычитания из уровня ряда значений центрированной скользящей средней за соответствующий момент времени. Результаты расчетов приведены в таблице.

Далее определяются средние значения сезонной компоненты по кварталам и их корректировка.

Среднее значение для каждого квартала, года вычисляется на основе фактически имеющихся данных по одноименным кварталам по рассматриваемым годам.

Средняя средних значений должна равняться нулю. Если это не выполняется, то производится их корректировка.

Результаты расчетов отражены в таблице.

3. Определение тренда.

На этом этапе осуществляется десезонализация данных на основе вычитания из уровня ряда за каждый квартал каждого года значения соответствующей скорректированной сезонной компоненты. Таким образом, получают значения, в сумме содержащие тренд и случайную компоненту:

Y-S=T+E.

Далее осуществляют построение модели тренда методом наименьших квадратов на основе десезонализированных данных объема экспорта. На основе визуального сравнения графиков фактических данных и десезонализированных можно принять гипотезу о линейности модели тренда:

Модель тренда с численными параметрами будет иметь вид:

4. Определение качества модели и расчет ошибок.

О качестве модели можно судить по ошибкам. Рассчитываем их по формуле:

Е=Y-S- Т

Значение ошибок приведены в последней графе таблицы. Значения ошибок невелики и составляют порядка 2-3%. Это говорит о таком качестве модели, которое делает её вполне пригодной для прогнозирования.

5. Построение прогноза с учетом сезонных колебаний.

Здесь осуществляется расчет прогноза на II квартал IV года по модели тренда с последующей корректировкой прогноза на сезонную компоненту.

Рассчитаем прогноз на II квартал IV года по модели тренда. Порядковый номер II квартала на IV год равен 14. Тогда прогнозное значение объёма экспорта по уравнению тренда будет следующим:

Т _{II кв.4 год} = 8,07+19,9х14 = 359.

Скорректируем это значение с учетом фактора сезонности:

Ŷ ^скор_{II кв.4 год} = 359 - 20,7 = 338,3

Однако не следует забывать о том, что чем больше период упреждения, тем меньше степень обоснованности прогноза.

1.5.2. Анализ модели с мультипликативной компонентой.

Общие этапы построения этой модели сходны с этапами построения аддитивной модели.

1. Анализ данных.

1.1. Построение графика на основе исходных данных.

1.2. Визуальный анализ данных и вывод о необходимости использовать модель с мультипликативной компонентой.

2. Расчет сезонной компоненты.

2.1. Расчет скользящей средней с шагом 4.

2.2. Центрирование скользящей средней.

2.3. Определение коэффициентов сезонности путем деления уровней ряда на значение центрированной скользящей средней за соответствующий момент времени.

2.4. Расчет средних значений коэффициентов сезонности по кварталам.

2.5. Корректировка средних значений коэффициентов сезонности.

3. Определение тренда.

3.1. Десезонализация данных путем деления фактических значений уровней ряда на скорректированные коэффициенты сезонности за соответствующий квартал:

Y

---- = Т× Е.

3.2. Построение модели тренда на основе десезонализированных данных методом наименьших квадратов.

4. Проверка качества модели и расчет ошибок:расчет ошибок можно производить двумя способами, как

Y– Т´ S = Е иY/ Т´ S = Е

5. Прогнозирование с учетом сезонной компоненты.

5.1. Расчет прогнозных значений на основе модели тренда.

5.2. Корректировка прогнозных значений с использованием коэффициента сезонности.

Пример.

Фирма осуществляет регулярные закупки товара на внешнем рынке и реализует его на внутреннем. Изучение спроса на этот товар на внутреннем рынке показало, что он растет, и эта тенденция в ближайшее время сохранится. Данные по квартальным закупкам приведены в таблице.

Построить прогноз по объему закупок на II квартал IV года.

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 98; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!