Проверка стационарности временного ряда

Конкретизируя и уточняя сказанное ранее, будем называть стохастический процесс стационарным, если его свойства не зависят от изменения начала отсчета времени. Иными словами, если совместное распределение вероятностей m наблюдений сделанных в любые моменты времени такое же, что и для m наблюдений , сделанных в моменты времени .

Поэтому, чтобы процесс был стационарным, взаимное распределение любой совокупности наблюдений не должно изменяться при сдвиге всех времен наблюдений вперед или назад на любое число k. Когда m = 1, из предположения о стационарности следует, что распределение вероятности одинаково для всех времен t и может быть записано как .

Отсюда математическое ожидание случайной величины в любой момент времени выражается формулой:

Математическое ожидание определяет уровень, относительно которого колеблется случайная величина.

Постоянная дисперсия представляется в виде:

Она измеряет размах колебаний около математического ожидания.

Среднее значение μ можно оценить с помощью выборочного среднего временного ряда:

,

а дисперсию стохастического процесса — с помощью выборочной дисперсии:

Из предположения о стационарности следует, что совместное распределение вероятностей одинаково для всех времен , разделенных одним и тем же интервалом. Природу этого совместного распределения можно оценить по диаграмме рассеяния, построенной по парам значений временного ряда, разделенных постоянным интервалом или задержкой k. Степень зависимости между этими значениями характеризуется коэффициентом автокорреляции (или просто автокорреляцией) с задержкой k, который вычисляется по формуле:

Знаменатель последней формулы получен из условия равенства дисперсии в моменты времени t + k и t для стационарного процесса.

При k = 0 получаем естественное условие ρ₀ = 1

Функция ρ_k задержки k называется автокорреляционной функцией стохастического процесса. Автокорреляционная функция показывает, как изменяется корреляция между двумя любыми членами ряда по мере изменения расстояния между ними. Так как ρ_k = ρ_-k автокорреляционная функция должна быть симметрична относительно нуля и на практике необходимо изображать только правую половину графика функции (для положительных k).

Так как в большинстве практических задач истинные значения коэффициентов r_k (или значения автокорреляционной функции в точках k) определить невозможно, то в дальнейшем мы будем рассматривать лишь их выборочные оценки r_k, получаемые из расчетов конкретных временных рядов:

Приведем расчет автокорреляционной функции на примере временного ряда, представляющего собой разности между доходами по закладным на недвижимость и доходами по правительственным займам в Нидерландах.

Выборочные автокорреляции для больших задержек рассчитаны аналогичным путем. График автокорреляционной функции, в дальнейшем называемый коррелограммой, представлен на рисунке:

Автокорреляции здесь убывают с ростом k, указывая, что наблюдения, более близкие по времени друг к другу более коррелированны. С помощью коррелограммы можно специфицировать модели различных процессов.

Условием стационарности случайного процесса, в соответствии со сказанным ранее, является условие зависимости автокорреляционной функции только от разности аргументов t_i – t _j = τ и независимости от начала отсчета времени.

Проверим гипотезу о том, что значение автокорреляционной функции не зависит от выбора начала наблюдений, а зависит только от величины сдвига τ

Для этого:

1. Вычислим для временного ряда y₁, y₂, …,y_n значение автокорреляционной функции , где n — число наблюдений:

2. Исключим либо первое, либо последнее наблюдение и вычислим . Продолжим этот процесс до числа исключаемых наблюдений, равных k, и рассчитаем (k+ 1 ) автокорреляционных функций. Теперь имеем τ групп коэффициентов автокорреляции, каждая из которых состоит из (k+ 1 ) коэффициента.

3. Для того, чтобы случайный процесс был стационарным, коэффициенты автокорреляции, входящие в одну группу, должны быть однородными. Однородность в данном случае означает отсутствие существенного рассеяния среди коэффициентов автокорреляции, входящих в одну группу.

Условие однородности можно проверить следующим образом:

а) вычисляется величина Z — критерия Фишера для каждого , входящего в τ –ую группу:

, где k=0, 1, 2,…,K

б) определяется

в) доказано, что величина распределена как χ² с K степенями свободы. Если эта величина меньше табличного при заданном уровне значимости, то гипотезу об однородности τ –ой группы нет оснований отвергнуть.

Следовательно, случайный процесс представляет собой стационарный процесс.

Для прогнозирования на базе стационарных временных рядов применяют в качестве базовой модели модель авторегрессии. На этой основе построены и другие методы прогнозирования на основе стационарных рядов, например, метод Бокса-Дженкинса.

Модель авторегрессии рассматривает зависимость некоторой переменной в момент времени «t» от значений этой же переменной в другие ранние моменты времени.

ŷ_t = a₀ + a₁y_t-1 + a₂ y_t-2 +…

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 76; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!