Выравнивание при помощи ряда Фурье.

Решение.

1. Анализ данных.

Строим график на основе данных таблицы.

Визуальный анализ данных позволяет сделать вывод о возможности использования мультипликативной модели, т.к. размах вариаций фактических значений относительно линии тренда постоянно возрастает:

Y=T´ S´ E

2. Расчет сезонной компоненты.

Процедура этого этапа включает расчет скользящей средней с шагом, равным 4, центрированной скользящей средней, оценку сезонной компоненты на основе деления уровня ряда на значение центрированной скользящей средней за соответствующий момент времени. Результаты расчетов приведены в таблице.

Далее определяются средние значения сезонной компоненты по кварталам, и проводится их корректировка.

Среднее значение для каждого квартала года вычисляется на основе фактически имеющихся данных по одноименным кварталам по рассматриваемым годам. Сумма оценок сезонной компоненты должна равняться 4. Если сумма не равна 4, то производится корректировка сезонной компоненты.

Результаты расчетов приведены в таблице.

3. Определение тренда.

На этом этапе проводится десезонализация данных путем деления фактических значений уровня ряда на скорректированные коэффициенты сезонности по кварталам. Таким образом, получают значения, содержащие тренд и случайную компоненту:

Далее осуществляется построение модели тренда методом наименьших квадратов на основе десезонализированных данных объема экспорта. Визуальное сравнение графиков фактических данных и десезонализированных данных даёт возможность принять гипотезу о линейности модели тренда:

T_t=a₀+a₁t

Модель тренда с численными параметрами будет иметь вид:

T_t= 125,8 + 3,2 t

4. Определение качества модели и расчет ошибок.

О качестве модели можно судить по ошибкам. Рассчитываются они по формуле:

Е =

Номер квартала	Объем закупок, млн.руб.	Сезонная компонента	Трендовое значение Т, млн.руб.	Ошибка
T S
		1,116	129,0	143,9	0,97
		0,907	132,2	119,9	1,10
		0,922	135,4	124,8	1,04
		1,055	138,6	146,2	0,97
		1,116	141,8	158,2	1,01
		0,907	145,0	131,5	1,00
		0,922	148,2	136,6	0,98
		1,055	151,4	159,7	1,03
		1,116	154,6	172,5	0,97
		0,907	157,8	143,1	0,96
		0,922	161,0	148,4	1,03
		1,055	164,2	173,2	1,00
		1,116	167,4	186,8	1,01

Значение ошибок приведены в последней графе таблицы. Значения ошибок невелики и составляют порядка 1%. Это говорит о таком качестве модели, которое делает её вполне пригодной для прогнозирования (1 % - 3 %).

5. Построение прогноза с учетом сезонных колебаний.

Здесь осуществляется расчет прогноза на II квартал IV года по модели тренда с последующей корректировкой прогноза на сезонную компоненту.

Рассчитаем прогноз на II квартал по модели тренда. Порядковый номер II квартала IV года равен 14, тогда прогноз значения объема экспорта по уравнению тренда будет следующим:

T_{II кв.IV год} = 125,8 + 3,2х14

Скорректируем это значение с учетом фактора сезонности:

Ŷ ^скор_{II кв.IV год} = (125,8+3,2х15) 0,907 = 154,7

Однако не следует забывать о том, что чем больше период упреждения, тем меньше степень обоснованности прогноза.

Одним из приемов аналитического выравнивания является выравнивание при помощи ряда Фурье. По тригонометрической системе ряд Фурье определяется для каждой функции f, интегрируемой на отрезке [0, 2 ].

Это ряд:

(1.1)

с коэффициентами:

(1.2)

Аналогично строятся ряды Фурье для функций от многих переменных.

С помощью выражения (1.2) строится ряд Фурье (1.1) для каждой функции интегрируемой на отрезке [0, 2 ].

Простейшую периодическую функцию вида, приведенную ниже, принято называть гармоникой.

Это функция хорошо описывает многие колебательные процессы.

A -называют амплитудой, ω - частотой, φ - начальной фазой, - периодом колебания. Функции вида , называют соответственно второй, третьей гармониками относительно основной гармоники.

Помимо самих гармоник для изучения колебательных процессов используют их суммы, так как широкий класс функций разлагается в ряды вида:

, (1.3)

Описанные выше функции используются в гармоническом анализе в разделе математики, который позволяет сводить решение некоторых задач к вопросам гармонического анализа.

Довольно часто при исследовании социально-экономических процессов используют следующее уравнение:

Это уравнение позволяет выравнивать процессы с характерной периодичной составляющей, где k определяет в данном случае гармонику ряда.

При изучении процессов с использованием ряда Фурье обычно рассчитывают несколько гармоник (чаще всего четыре), а затем устанавливают, какая из них лучше отражает периодичность изменения.

Оценки параметров уравнения вычисляют по методу наименьших квадратов:

Фактор времени t может быть выражен в градусах или в радианной мере. Исчисляется t от 0 с приростом, равным , где n - число уровней временного ряда.

Например, для n = 7 t будет записано так:

Значения синусов и косинусов для различных гармоник и необходимые расчеты для удобства проведения вычислений располагают в таблице по образцу (таблица представлена для двух гармоник).

Период времени	t	y	y cos t	y sin t		y cos 2 t	y sin2 t

и -это теоретические значения показателя для k =1 и k =2, соответственно.

За прогнозное уравнение принимают то, для которого теоретические значения по временным периодам ближе к эмпирическим.

Следует заметить, что результаты по ряду Фурье дает наибольший эффект в тех случаях, когда временной ряд насчитывает большое число уровней.

Пример:

Выравнить по ряду Фурье временной ряд, описывающий представленные ниже сезонные изменения показателей цен на товар:

Решение:

Определим для n = 12 моменты времени:

Построим по вышеприведенному образцу вспомогательные таблицы, в которые внесем результаты всех проведенных необходимых расчетов:

Период времени	y cos t	y sin t	y cos 2t	y sin 2t
	3,7	0,000	3,7		3,50	3,79
	3,464	2,000	2,0	3,464	3,93	3,96
	2,2	3,810	- 2,2	3,81	4,55	4,30
		5,200	- 5,2		5,17	4,38
	- 2,3	3,984	- 2,3	- 3,984	5,65	5,62
	- 6,062	3,5	3,5	- 6,06	5,84	6,10
	- 6,0		6,0		5,70	5,99
	- 4,157	- 2,4	2,4	4,157	5,27	5,30
	- 2,3	- 3,984	- 2,3	3,984	4,65	4,40
		- 3,8	- 3,8		3,93	3,64
	1,8	- 3,117	- 1,8	- 3,117	3,55	3,52
	3,031	- 1,75	1,75	- 3,031	3,36	3,62
	- 6,624	3,443	1,75	- 0,778	55,10	55,12

Итак, уравнение для k = 1 имеет вид:

Для к = 2 имеем:

Значения и представлены в двух последних графах одной из вспомогательных таблиц.

Из таблицы видно, что значения цены, рассчитанные для двух гармоник

(k = 2) ближе к эмпирическим уровням ряда, чем для k = 1. Это означает, что выбор падает на уравнение, полученное для двух гармоники. На основе него следует далее строить прогноз.

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 126; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!