Задачи регрессионного анализа.

В зависимости

От периода сдвига во времени (лага) различают модели авторегрессии разных порядков.

Модель ŷ_t = a₀ + a₁y_t-1 называется моделью авторегрессии первого порядка.

Модель ŷ_t = a₀ + a₁y_t-1 является моделью авторегрессии второго порядка и т.д.

Для определения модели авторегрессии рассчитываются коэффициенты автокорреляции разных порядков. На основе коэффициентов автокорркляции строятся их график, который называется коррелограммой. На рисунках приведены примеры коррелограмм разных временных рядов.

Коррелограмма стационарного временного ряда «быстро убывает» с ростом t (рис. 1.17, 1.18). Если же график «убывает» медленно, то есть основание предположить нестационарность временного ряда.

По графику коррелограммы можно определить порядок модели авторегрессии.

Рис. 1.16

Рис. 1.17

Рис. 1.18

На практике строят обычно для одного ряда несколько моделей авторегрессии разных порядков и выбирают лучшую модель по тем или иным показателям оценки качества модели.

Параметры модели авторегрессии оценивают обычно методом наименьших квадратов.

Прогнозирование осуществляют путем подстановки в модель авторегрессии предшествующих значений уровней того же ряда в соответствии с определенным моделью лагом.

Глава II

МЕТОДЫ И МОДЕЛИ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА.

Эконометрика – один из видов научно-прикладных исследований экономических процессов и явлений, ставящих своей целью построение количественно определенных экономико-математических моделей на базе экономической теории, экономической статистики и методов математической статистики. Основой эконометрических моделей являются регрессионные модели. Построенные на базе имеющейся статистической информации регрессионные модели позволяют исследовать зависимости между различными экономическими факторами, описать эти зависимости в виде математических уравнений, применить в прогнозировании.

В данном пособии рассматриваются принципы построения моделей регрессии, предпосылки применения регрессионного анализа. Характер статистических данных, которыми оперирует исследователь в сфере социально-экономических процессов, и существо решаемых им задач вполне адекватны тем требованиям и возможностям, которые содержатся в регрессионном методе. На практике исследователь имеет дело с определенной выборкой, свойства которой он может реально изучить. Но задача любого исследования, как правило, не ограничивается только рамками данной выборочной совокупности, а состоит в стремлении выявить некоторые общие свойства, закономерности определенного явления. Исследователя интересует, насколько правомерно распространение тех выводов о зависимости показателей, к которым он пришел на основе изучения имеющейся выборки, на все изучаемое явление. Регрессионный анализ позволяет ответить на эти вопросы.

2.1. Понятие регрессии.

Пусть имеются две случайные величины X и Y с совместным законом распределения вероятностей. Для каждого возможного значения X = x будет существовать условное распределение случайной величины Y, зависящее от значения х. Математическое ожидание этого условного распределения так же будет зависеть от значения x. Таким образом, можно записать формулу:

M(Y/X = x) = g(x). (2.1)

Здесь символ M указывает на операцию математического ожидания, а Y/X = x –значение случайной величины Y с условным законом распределения, когда X=x. Функция g(x) называется функцией регрессии. Можно сказать, что функция регрессии описывает зависимость между величиной x и математическим ожиданием (средним значением) величины Y. Доказано, что если случайные величины X и Y распределены по двумерному нормальному закону, то функция регрессии линейна и, следовательно, можно записать:

g(x) = a ₀+ a ₁ x (2.2)

Cвязь между X и Y можно записать в виде:

Y = g(x)+ e, или Y = a ₀+ a ₁ X+e.,

Где e -это случайная величина с математическим ожиданием равным нулю (M(e)=0) и постоянной дисперсией D(e)= . Очевидно, что в этом случае функция регрессии имеет вид (2.2).

Предположим, что в результате наблюдения мы имеем набор пар Y_i, X_i i = 1,2,…n. Таким образом, для каждого наблюдения i справедлива зависимость:

Y_i = a ₀ +a ₁ X_i +e_i (2.3)

Ставится задача определения величин a ₀ и a ₁ на основе статистических данных. Однако истинные значения величин a₀ и a₁ получить нельзя, так как мы опираемся на ограниченный объем информации, поэтому расчетные значения являются статистическими оценками истинных значений параметров a ₀ и a ₁. Обозначим соответствующие оценки через a₀ и a₁, а уравнение регрессии, аппроксимирующее "истинную регрессию", тогда будет иметь вид:

= a₀ + a₁x (2.4)

Случайную величину Y можно представить следующим образом:

Y = + e, или Y = a₀ + a₁x+e,

Где e – остатки.

Методом оценки параметров a₀ и a₁ является метод наименьших квадратов. Пусть e_i= Y_i– (a₀ + a₁X_i) есть отклонение значения Y_i от искомой прямой = a₀ + a₁x

в точке X_i. Тогда сумма квадратов отклонений S будет равна:

S= (2.5)

Здесь S является функцией двух параметров a₀ и a₁. Найдем их исходя из условия, что S принимает наименьшее из возможных значений. Необходимые условия минимума запишутся в виде системы:

(2.6)

Несложно показать (мы на этом останавливаться не будем), что в данном случае необходимые условия являются так же и достаточными. После простых алгебраических преобразований система приводится к стандартной форме нормальных уравнений:

(2.7)

Решением системы будет:

a₀= , a₁= где , .

Здесь и далее предполагается суммирование от 1 до n по соответствующему индексу. Оценки a₀ и a₁, полученные с помощью метода наименьших квадратов, обладают свойствами несмещенности (M(a₀) = a₀, M(a₁)=a₁) и состоятельности (D(a₀)®0 и D(а₁)®0 при n®¥). Если предположить, что последовательные значения ошибок e_i не зависят друг от друга (D(e_ie_j) = 0),то оценки являются эффективными в том смысле, что они имеют минимальную дисперсию по сравнению с любыми другими оценками этого параметра.

Проведенный выше анализ касался однофакторной регрессии. Рассмотрим далее случай множественной линейной регрессии, когда зависимая переменная Y является функцией нескольких переменных X₁, X₂,… X_m так, что можно записать:

Y= a₀+a₁X₁+a₂X₂+…+a_mX_m+e

При этом для каждого наблюдения с номером i справедлива зависимость:

Y_i=a₀+a₁X_i1+a₂X_i2+…+a_mX_im+e_i (i=1,2,3…n). (2.8)

Предположения относительно остатков остаются такими же, как и в случае одномерной регрессии. Оценки параметров a_i обозначим через a_i. Тогда для оценки выражения (2.8) получим:

= a₀ + a₁X_i1 + a₂X_i2 ….+ a_mX_im.

Наблюдаемое значение Y_i можно выразить следующим образом:

Y_i =a₀ + a₁X_i1 + a₂X_i2 ….+ a_mX_im +e_i. (2.9)

Для нахождения неизвестных параметров a_i используем метод наименьших квадратов аналогично тому, как это было сделано в одномерном случае. Сумма квадратов отклонений S будет равна:

S= . (2.10)

S является функцией m+1 параметров a_i. Найдем их исходя из условия, что S принимает наименьшее из возможных значений. Необходимые условия минимума запишутся в виде системы:

(2.11)

Эти условия так же являются и достаточными. Преобразовывая систему (2.11), получаем систему из (m + 1) уравнений, решая которую находим значения параметров функции регрессии.

Задачу оценки параметров теоретической регрессии по выборочным данным решает регрессионный анализ.

Регрессионный анализ – раздел математической статистики, объединяющий методы исследования регрессионной зависимости между некоторыми величинами на основе выборочных статистических данных.

Пусть некоторое экономическое явление описывается определенной совокупностью экономических показателей (переменных), среди которых можно выделить:

- Y – зависимая переменная (результативный признак), случайная величина;

- Х – независимые переменные, (факториальные признаки), могут быть как случайными, так и неслучайными величинами

Регрессионная модель описывает как в среднем зависит результативный признак Y от влияющих на него факториальных признаков Х. На основе регрессионной модели можно определить среднее значение результативного признака Y при определенных значениях факториальных признаков.

Если в модели показывается, что величина Y зависит только от одного факториального признака Х, то модель регрессии называется однофакторной, если таких признаков несколько, то модель называется многофакторной..

Модель может описывать зависимость величины Y от факторов в виде линейной функции (линейная модель регрессии), или в виде той или иной нелинейной функции (нелинейная модель регрессии).

Линейная однофакторная модель регрессии имеет вид:

Y =

Линейная многофакторная модель выглядит так:

Y =

Регрессионные модели могут быть представлены полиномами различных степеней:

Y =

степенными функциями:

Некоторые функции, нелинейные относительно параметров, можно свести к линейным. Например, степенную функцию линеаризируют путем логарифмирования:

Параметры модели регрессии, которые являются коэффициентами при факториальных признаках, называются коэффициентами регрессии и допускают определенную экономическую интерпретацию. Так, коэффициенты в линейных однофакторных и многофакторных моделях показывают, на сколько изменится величина результативного признака Y при изменении значения данного факториального признака на единицу (при условии неизменности всех остальных факторных переменных в многофакторных моделях). Можно вычислить также показатели, которые показывают относительное изменение результативного признака в процентах при изменении факториального признака на один процент. Они называются коэффициентами эластичности и для линейных моделей определяются следующим образом:

В модели регрессии, описываемой степенной функцией, коэффициенты регрессии сразу интерпретируются как коэффициенты эластичности.

Приведем в качестве примеров модели регрессии, применяемые в прогнозировании внешней торговли в различных странах.

Так, в моделях прогнозирования Бельгии и Голландии импорт рассматривается как степенная функция валового национального продукта:[1]

,

Где М – импорт;

y – валовой национальный продукт;

– параметры модели;

a₁ - коэффициент эластичности.

В японской среднесрочной модели программирования экономики импорт сырья и топлива описывается следующей зависимостью:[2]

,

Где М – импорт сырья и топлива;

– индекс объема производства в горнодобывающей и перерабатывающей промышленности;

– изменение запасов частных предприятий;

– параметры модели.

В этой же модели экспорт Японии рассматривался как функция уровня мировой торговли и цен:[3]

,

Где: E – экспорт Японии;

T – объем мирового экспорта кроме;

p – индекс цен экспорта Японии;

– индекс цен экспорта промышленных товаров из 11 развитых стран;

a₁, a₂ -коэффициенты эластичности экспорта Японии по мировому экспорту и мировым ценам соответственно.

С помощью моделей регрессии описывается зависимость спроса от цен, спроса от доходов. Наиболее часто при этом применяется степенная модель вида:

,

Где: Y – спрос на товар;

x – доход;

– эластичность спроса по доходу.

Широко известна так называемая гравитационная модель мировой торговли:

,

Где: -экспорт между i -ой и k -ой странами;

Y_i и Y_k - валовые продукты соответствующих стран;

D_i и D_k - численность населения обеих стран;

R_ik - расстояние между странами;

a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ - соответствующие коэффициенты эластичности.

Задачей регрессионного анализа является нахождение таких численных значений оценок параметров регрессии, которые бы не противоречили основным предположениям о свойствах теоретической регрессии.

Получение таких оценок методом наименьших квадратов предполагает выполнение ряда предпосылок. В частности, в регрессионном анализе предполагается, что результативный признак обязательно случайная величина с нормальным законом распределением, а факториальные признаки могут быть как случайными, так и не случайными переменными величинами.

Важным условием является отсутствие линейной зависимости между факторными признаками (отсутствие явления мультиколлинеарности).

Самые главные требования предъявляются к остаткам.

Остатки должны быть случайными независимыми величинами, не должны быть автокоррелированы, должны иметь нормальное распределение с нулевой средней и с одинаковой и конечной дисперсией.

Выполнение этих требований, как показывает практика расчетов, более или менее выполнимо.

При выполнении этих требований оценки, полученные МНК, отвечают требованиям несмещенности, состоятельности и эффективности.

Выполнение основных требований к остаткам при построении регрессионной модели дает возможность обоснованно применять математико-статистический аппарат для проверки тех или иных статистических гипотез о свойствах модели.

Вычисленные по МНК оценки параметров регрессии являются точечными оценками теоретической регрессии. В регрессионном анализе решаются следующие задачи статистического анализа модели:

- определение точечных оценок (параметров модели);

- определение статистической значимости оценок;

- построение доверительных интервалов оценок;

- проверка адекватности, качества модели в целом.

Процесс построения регрессионной модели можно представить в виде нескольких этапов, на каждом из которых решаются свои задачи.

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 72; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!