Формулы численного интегрирования. Формула Симпсона. Правило Рунге.

Метод трапеций.

Метод прямоугольников.

Численное интегрирование.

Формулы численного интегрирования Формулы прямоугольников и трапеций.

Требуется вычислить определенный интеграл: . Выберем на отрезке интегрирования различных узлов и интерполируем функцию по ее значениям в этих узлах некоторым полиномом . Тогда определенный интеграл приближенно можно вычислять по формуле ,

На каждом отрезке , функция заменяется полиномом нулевой степени . Поэтому приближенно I вычисляется по формуле:

Для равноотстоящих узлов формула имеет следующий вид:

- формула левых прямоугольников.

- формула правых прямоугольников.

Программа вычисления интеграла методом прямоугольников. Исходные данные: пределы интегрирования и число разбиений.

Function f(x). f = Sqr(2 * x ^ 2 + 1). 0End Function. Sub Integral()

a = Cells(1, 2). b = Cells(2, 2). n = Cells(3, 2). h = (b - a) / n. x = a. S = 0

1 s = s + f(x) * h. x = x + h. If x < b Then GoTo 1. Cells(5, 2) = s.End Sub

В этом методе на каждом отрезке функция f(x) заменяется полиномом 1-й степени .

По формуле Лагранжа:

. Интегрируя на отрезке , получим:

. Суммируя по всем (), получим формулу трапеций:

. Для равноотстоящих узлов , , …,

формула принимает следующий вид:

Программа вычисления интеграла методом трапеций:

в программе, заменить отмеченные строки на следующие:

1 s = s + 0.5 * (f(x) + f(x + h)) * h

x = x + h

Метод парабол (Симпсона).

Интервал разделим на отрезков. Группируя узлы тройками , на каждом отрезке интерполируемфункциюf(x) полиномом 2-й степени

По формуле Лагранжа:

Интегрируя на отрезке , получим:

Суммируяформулу по всем отрезкам, получаем формулу для приближенного интегрирования:

Программа вычисления интеграла методом парабол (Симпсона):

в программе заменить отмеченные строки на следующие: 1 s = s + (f(x) + 4*f(x + h) + f(x + 2*h))*h/3

x = x + 2*h. Правило Рунге (Оценка точности вычисления определенного интеграла).

Погрешность вычисления значения интеграла при числе шагов , равном , определяется по формуле Рунге: -значения интеграла при числе шагов, равном n, - порядок точности, равный для формулы левых (правых) прямоугольников, 2 для формулы трапеций и 4 для формулы Симпсона. Таким образом, интеграл вычисляется по выбранной формуле (прямоугольников, трапеций, парабол Симпсона) для последовательных значений числа шагов , , , и т.д. Процесс вычислений заканчивается, когда для очередного значения будет выполнено условие , где ε ‑ заданная точность.

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 85; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!