Метод наименьших квадратов (МНК)

Интерполяционные многочлены Ньютона

Интерполяционный полином Ньютона имеет вид:

- разделенная разность первого порядка,

- разделенная разность второго порядка,

- разделенная разность третьего порядка и т.д.

Аппроксимация на основе интерполяции не имеет смысла или невозможна, когда исходные данные содержат погрешности, повторы или очень большое количество точек. В этих случаях используют сглаживание: критерий близости аппроксимирующей функции к исходным данным , рассматривается как минимальное отклонение значений в заданных точках. Количественно отклонение может быть оценено методом наименьших квадратов (МНК), согласно которому необходимо минимизировать сумму квадратов: где _, - значения данных - значение аппроксимирующей функции в точке ; - число данных, - незвестные параметры. Задача сводится к нахождению экстремума функции параметров . Линейная аппроксимация. В случае линейной формулы сумма квадратов принимает вид: . Эта функция имеет минимум в точках, в которых частные производные от по параметрам и обращаются в нуль, т.е. ,

Решая систему уравнений, получим значения и уравнения .

Полиномиальная аппроксимация. В случае выбора зависимости в виде полинома, например, 2-й степени сумма квадратов принимает вид:

Эта функция имеет минимум в точках, в которых частные производные от по параметрам , , обращаются в нуль, т.е.: , , В результате дифференцирования и элементарных преобразований для определения параметров получают систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными: Или

При расчете удобно использовать таблицу

	-2			-8		-12

Точность аппроксимации можно оценить среднеквадратической ошибкой

, которая не должна превышать погрешность исходных данных.

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 62; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!