Интерполяционные многочлены Лагранжа

Аппроксимация функций. Постановка задачи и способы ее решения

Очень часто в практической работе возникает необходимость найти в явном виде функциональную зависимость (формулу) между величинами x и y, которые заданы отдельными парами значений , (таблицей), например, полученными в результате измерений. Аппроксимация - построение более простой зависимости, по известным характеристикам неизвестный зависимости.

Для получения единственного решения задачи аппроксимации необходимо

1. Задать общий вид аппроксимирующей функции, включающий неизвестные параметры. Вид функции задается, исходя из формы распределения аппроксимируемых значений, из предполагаемой функциональной зависимости, или просто в виде полинома некоторой степени;

2. Определить значения параметров на основе заданного критерия близости. Здесь существует два основных подхода – интерполяция и сглаживание(МНК).

Интерполяция. Для задачи интерполяции критерий близости аппроксимирующей функции к исходным данным , рассматривается как совпадение значений в заданных точках, называемых узлами интерполяции, т.е. . Если функция задана в виде полинома, то он называется интерполяционным полиномом и может быть записан, например, в форме Лагранжа или Ньютона.

Пусть на некотором промежутке заданы различных узлов , , , …, , а также значения некоторой функции , , , …, в этих узлах. Необходимо построить полином , проходящий через заданные точки, т.е. Интерполяционный полином Лагранжа имеет следующую формулу:

где

- фундаментальные полиномы Лагранжа.

Они удовлетворяют равенствам

и зависят лишь от заданных узлов , но не от значений интерполируемой функции .

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 39; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!