Решение систем нелинейных уравнений методом итераций

Решение.

Решение.

II. Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона

Рассмотрим систему двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными

где и - непрерывно дифференцируемые функции.

Рассмотрим решение системы приближённым методом Ньютона. Будем искать корни системы с точностью ε. Пусть - начальное приближение искомого решения, - n -е приближение решения. Более точное (n+1) -е приближение корней вычисляется по формулам:

где и – поправочные коэффициенты.

Для нахождения поправок и требуется решить систему линейных уравнений

относительно неизвестных и , полученную в результате линеаризации функций и , разложенных в ряды Тейлора.

Решая систему методом Крамера, находим поправки и по формулам:

где ,

где ,

Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет выполнено условие

,

Пример. Решить систему нелинейных уравнений с заданным начальным приближением в точке методом Ньютона. Корни найти с точностью ε=0,001.

Для данной системы имеем:

Необходимые для решения частные производные:

Проведем расчеты на первой итерации.

Составим систему

Для этого вычислим:

;

Система принимает вид:

Решая эту систему по формулам Крамера, получаем:

;

.

Отсюда по формулам

получаем:

Дальнейшие расчёты занесём в таблицу вычислений, полученную с помощью Microsoft Excel:

Продолжение таблицы:

Расчётная таблица Microsoft Excel, отображающая формулы:

Продолжение таблицы:

Так как и , то окончательно имеем корни системы

Причем, ;

;

Ответ: ☺

program Met_Nutona_EXAMPLE;

var

x0, y0, xn, yn, xk, yk,eps,t,p:real;

function f(x,y:real):real; {подпрограмма-функция вычисления f(x) }

begin

f:=exp(x)-exp(y)+1;

end;

function g(x,y:real):real; {подпрограмма-функция вычисления g(x) }

begin

g:=y-exp(-x);

end;

function f1x(x,y:real):real; {подпрограмма-функция вычисления f ^I (x) }

begin

f1x:=exp(x);

end;

function f1y(x,y:real):real; {подпрограмма-функция вычисления f ^I (y) }

begin

f1y:=-exp(y);

end;

function g1x(x,y:real):real; {подпрограмма-функция вычисления g ^I (x) }

begin

g1x:=exp(-x);

end;

function g1y(x,y:real):real; {подпрограмма-функция вычисления g ^I (y) }

begin

g1y:=1;

end;

function h(x,y:real):real; {подпрограмма-функция вычисления поправочного коэффициента h }

begin

h:=(-f(x,y)*g1y(x,y)+f1y(x,y)*g(x,y))/(f1x(x,y)*g1y(x,y)-f1y(x,y)*g1x(x,y)); {вычисления проводятся по формулам Крамера}

end;

function k(x,y:real):real; {подпрограмма-функция вычисления поправочного коэффициента k }

begin

k:=(f1x(x,y)*(-g(x,y))+f(x,y)*g1x(x,y))/(f1x(x,y)*g1y(x,y)-f1y(x,y)*g1x(x,y)); {вычисления проводятся по формулам Крамера}

end;

begin

writeln('Метод Ньютона');

writeln('Введите x0, y0');

readln(x0, y0);

xn:=x0;

xk:=y0;

eps:=0.001;

yk:=y0+k(x0,y0);

xk:=x0+h(x0,y0);

write('x=',xk:3:4);

write(' y=',yk:3:4);

write(' f(x,y)=',f(xk,yk):3:4);

writeln(' g(x,y)=',g(xk,yk):3:4);

repeat {вычислительный цикл по формуле

xn:=xk; метода Ньютона с промежуточным

yn:=yk; выводом результатов на печать}

xk:=xn+h(xn,yn);

write('x=',xk:3:4);

yk:=yn+k(xn,yn);

write(' y=',yk:3:4);

write(' f(x,y)=',f(xk,yk):3:4);

writeln(' g(x,y)=',g(xk,yk):3:4)

until (abs(h(xk,yk))<eps)and(abs(k(xk,yk))<eps); {условие завершения вычислений}

writeln('Решение системы уравнений x=', xk:4:3,' y=',yk:4:3);

end.

Результат работы программы:

Метод Ньютона

Введите х0, у0

x=0.2384 y=0.3737 f(x,y)=0.8161 g(x,y)=-0.4141

x=0.1497 y=0.8578 f(x,y)=-0.1965 g(x,y)=-0.0032

x=0.2136 y=0.8059 f(x,y)=-0.0007 g(x,y)=-0.0017

x=0.2151 y=0.8065 f(x,y)=0.0000 g(x,y)=0.0000

Решение системы уравнений х=0.215 y=0.806

Пример. Решить систему нелинейных уравнений методом Ньютона. Корни найти с точностью ε=0,001.

Для данной системы имеем:

Графически найдём начальное приближение искомого решения. Для этого построим графики функций

По полученному чертежу определяем наименьшее положительное решение – начальное приближение .

Находим необходимые для решения частные производные:

Проведем расчеты на первой итерации.

Составим систему

Для этого вычислим:

0,6000	0,7000	0,0036	-0,1500	-1,3325	0,2675	1,2000	1,4000

Система принимает вид:

Решаем эту систему методом Крамера. Все расчёты занесём в таблицу вычислений, полученную с помощью Microsoft Excel:

Продолжение таблицы:

Расчётная таблица Microsoft Excel, отображающая формулы:

Продолжение таблицы:

Так как и , то окончательно имеем корни системы

Причем, ;

.

Заданная точность вычислений достигнута.

Результат работы программы:

Метод Ньютона

Введите х0, у0

0.6 0.7

x=0.6206 y=0.7895 f(x,y)=-0.0059 g(x,y)=0.0084

x=0.6163 y=0.7875 f(x,y)=0.0000 g(x,y)=0.0000

Решение системы уравнений х=0.616 y=0.788

Ответ: ☺

Пример. Решить систему нелинейных уравнений методом итераций. Корни найти с точностью ε=0,001.

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 66; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!