Метод простых итераций

(Метод последовательных приближений)

От исходного уравнения тождественными алгебраическими преобразованиями перейдем к эквивалентной записи в виде

.

Выберем какое-то начальное приближение к корню . Подставив его в правую часть уравнения , получим первое приближение

,

затем второе

и так далее.

Формула метода итераций:

.

Возникает вопрос о том, при каких условиях данный итерационный процесс будет сходиться к корню уравнения . Для ответа на него проведем графический анализ (а - односторонний сходящийся процесс; б - односторонний расходящийся процесс; в - двухсторонний сходящийся процесс; г - двухсторонний расходящийся процесс).

Из графиков видно, что при любом знаке производной возможны как сходящиеся, так и расходящиеся итерационные процессы. Скорость сходимости зависит от абсолютной величины производной. Чем меньше вблизи корня, тем быстрее сходится процесс.

Необходимым условием для сходимости метода простых итераций является условие:

.

Выполнение условия сходимости итерационного процесса можно обеспечить путем рационального выбора вида функции .

Рассмотрим один из общих алгоритмов такого выбора.

Умножим левую и правую части уравнения f (x) = 0 на произвольную постоянную и добавим к обеим частям неизвестное x. При этом корни исходного уравнения не изменятся:

.

Тогда и её производная .

Произвольный выбор константы 𝜆 обеспечивает выполнение условия сходимости. Необходимо выбрать 𝜆 так, чтобы , тогда сходимость итерационного процесса будет двухсторонней.

Пример. Определить приближённо с точностью 𝜀=0,001 корень уравнения методом простых итераций.

Решение.

Отрезок изоляции корня , , .

Промежуточные вычисления выполняем с точностью 0,1ε.

Расчеты проводим с помощью табличного редактора Microsoft Excel.

За исходную точку выбираем .

Вычислим значение первой производной в точках и :

Следовательно, не во всех точках отрезка изоляции корня выполняется условие сходимости итерационного процесса .

Проведём следующее преобразование исходного уравнения:

При имеем:

Вычислим значение первой производной в точках и :

Условие сходимости итерационного процесса выполняется. Далее проводим вычисления по формуле метода итераций

.

Результаты вычислений	Вычисления в Microsoft Excel в режиме отображения формул		A	B
№ i	x			x
0	0,5	0,5268		0,5	=A2-0,1*(3^A2+2*A2-3)
1	0,5268	0,5431		=B2	=A3-0,1*(3^A3+2*A3-3)
2	0,5431	0,5529		=B3	=A4-0,1*(3^A4+2*A4-3)
3	0,5529	0,5587		=B4	=A5-0,1*(3^A5+2*A5-3)
4	0,5587	0,5622		=B5	=A6-0,1*(3^A6+2*A6-3)
5	0,5622	0,5643		=B6	=A7-0,1*(3^A7+2*A7-3)
6	0,5643	0,5656		=B7	=A8-0,1*(3^A8+2*A8-3)
7	0,5656	0,5663		=B8	=A9-0,1*(3^A9+2*A9-3)
8	0,5663	0,5668		=B9	=A10-0,1*(3^A10+2*A10-3)
9	0,5668	0,5670		=B10	=A11-0,1*(3^A11+2*A11-3)
10	0,5670	0,5672		=B11	=A12-0,1*(3^A12+2*A12-3)
11	0,5672	0,5673		=B12	=A13-0,1*(3^A13+2*A13-3)
12	0,5673	0,5673		=B13	=A14-0,1*(3^A14+2*A14-3)
13	0,5673	0,5674		=B14	=A15-0,1*(3^A15+2*A15-3)
14	0,5674	0,5674		=B15	=A16-0,1*(3^A16+2*A16-3)

Так как , g ^I(x) 0,0000 .

Ответ: корень уравнения с точностью 𝜀=0,001.☺

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 47; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!