КАТЕГОРИИ:
Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)
Метод половинного деления
|
|
|
|
(метод бисекции)
Пусть действительный корень уравнения 
отделён и функция 
непрерывна на интервале 
изоляции корня. Построим процесс сужения интервала 
так, чтобы искомый корень всегда находился внутри сужаемого интервала. Найдём середину отрезка 
и вычислим значение функции 
. Составим произведения 
и 
. Из двух половин отрезков выберем тот, в котором произведение отрицательно. Обозначим новые границы отрезка 
и 
. Затем новый отрезок разделим пополам, составим аналогичные произведения и выберем тот отрезок, в котором произведение отрицательно, и т.д.
Формула метода половинного деления:
|
В качестве приближённого значения корня, вычисленного с точностью ε, принимается значение, при котором выполняется неравенство
|
Пример. Определить приближённо с точностью 𝜀=0,001 корень уравнения 
методом половинного деления.
Решение.
Отрезок изоляции корня 
, 
, 
.
Промежуточные вычисления выполняем с точностью 0,1ε.
Расчеты проводим с помощью табличного редактора Microsoft Excel.
По формуле метода бисекции
имеем:
| № | a | b | x | f(x) | f(a) | f(b) | 
|
| 0 | 0,5 | 0,75 | 0,625 | 0,2370 | -0,2680 | 0,7795 | 0,25 |
| 1 | 0,5000 | 0,6250 | 0,5625 | -0,0198 | -0,2679 | 0,2370 | 0,125 |
| 2 | 0,5625 | 0,6250 | 0,5938 | 0,1075 | -0,0198 | 0,2370 | 0,0625 |
| 3 | 0,5625 | 0,5938 | 0,5781 | 0,0435 | -0,0198 | 0,1075 | 0,03125 |
| 4 | 0,5625 | 0,5781 | 0,5703 | 0,0117 | -0,0198 | 0,0434 | 0,0156 |
| 5 | 0,5625 | 0,5703 | 0,5664 | -0,0041 | -0,0198 | 0,0117 | 0,0078 |
| 6 | 0,5664 | 0,5703 | 0,5684 | 0,0038 | -0,0041 | 0,0117 | 0,0039 |
| 7 | 0,5664 | 0,5684 | 0,5674 | 0,0000 | -0,0041 | 0,0040 | 0,002 |
| 8 | 0,5664 | 0,5674 | 0,567 | -0,0021 | -0,0041 | 0,0000 | 0,001 |
По последнему столбцу таблицы определяем выполнение условия остановки вычислений, т.е. 
.
- условие выполняется.
Ответ: корень уравнения 
с точностью 𝜀=0,001.☺
Таблица Microsoft Excel вспомогательных вычислений методом половинного деления,
отображающая формулы
| №1 | A | B | C | D | E | F | G |
| а | в | x | y(x) | y(a) | y(b) | условие | |
| 0,5 | 0,75 | =(A2+B2)/2 | =3^C2+2*C2-3 | =3^A2+2*A2-3 | =3^B2+2*B2-3 | =ABS(A2-B2) | |
| 0,5 | 0,625 | =(A3+B3)/2 | =3^C3+2*C3-3 | =3^A3+2*A3-3 | =3^B3+2*B3-3 | =ABS(A3-B3) | |
| 0,5625 | 0,625 | =(A4+B4)/2 | =3^C4+2*C4-3 | =3^A4+2*A4-3 | =3^B4+2*B4-3 | =ABS(A4-B4) | |
| 0,5625 | 0,59375 | =(A5+B5)/2 | =3^C5+2*C5-3 | =3^A5+2*A5-3 | =3^B5+2*B5-3 | =ABS(A5-B5) | |
| 0,5625 | 0,5781 | =(A6+B6)/2 | =3^C6+2*C6-3 | =3^A6+2*A6-3 | =3^B6+2*B6-3 | =ABS(A6-B6) | |
| 0,5625 | 0,5703 | =(A7+B7)/2 | =3^C7+2*C7-3 | =3^A7+2*A7-3 | =3^B7+2*B7-3 | =ABS(A7-B7) | |
| 0,5664 | 0,5703 | =(A8+B8)/2 | =3^C8+2*C8-3 | =3^A8+2*A8-3 | =3^B8+2*B8-3 | =ABS(A8-B8) | |
| 0,5664 | 0,5684 | =(A9+B9)/2 | =3^C9+2*C9-3 | =3^A9+2*A9-3 | =3^B9+2*B9-3 | =ABS(A9-B9) | |
| 0,5664 | 0,5674 | =(A10+B10)/2 | =3^C10+2*C10-3 | =3^A10+2*A10-3 | =3^B10+2*B10-3 | =ABS(A10-B10) |
| №2 | B | C | D | E | F | G | H |
| а | в | x | y(x) | y(a) | y(b) | условие | |
| 1,25 | 1,5 | =(B2+C2)/2 | =SIN(2*D2)-LN(D2) | =SIN(2*B2)-LN(B2) | =SIN(2*C2)-LN(C2) | =ABS(C2-B2) | |
| 1,375 | 1,5 | =(B3+C3)/2 | =SIN(2*D3)-LN(D3) | =SIN(2*B3)-LN(B3) | =SIN(2*C3)-LN(C3) | =ABS(C3-B3) | |
| 1,375 | 1,438 | =(B4+C4)/2 | =SIN(2*D4)-LN(D4) | =SIN(2*B4)-LN(B4) | =SIN(2*C4)-LN(C4) | =ABS(C4-B4) | |
| 1,375 | 1,407 | =(B5+C5)/2 | =SIN(2*D5)-LN(D5) | =SIN(2*B5)-LN(B5) | =SIN(2*C5)-LN(C5) | =ABS(C5-B5) | |
| 1,391 | 1,407 | =(B6+C6)/2 | =SIN(2*D6)-LN(D6) | =SIN(2*B6)-LN(B6) | =SIN(2*C6)-LN(C6) | =ABS(C6-B6) | |
| 1,399 | 1,407 | =(B7+C7)/2 | =SIN(2*D7)-LN(D7) | =SIN(2*B7)-LN(B7) | =SIN(2*C7)-LN(C7) | =ABS(C7-B7) | |
| 1,399 | 1,403 | =(B8+C8)/2 | =SIN(2*D8)-LN(D8) | =SIN(2*B8)-LN(B8) | =SIN(2*C8)-LN(C8) | =ABS(C8-B8) | |
| 1,399 | 1,401 | =(B9+C9)/2 | =SIN(2*D9)-LN(D9) | =SIN(2*B9)-LN(B9) | =SIN(2*C9)-LN(C9) | =ABS(C9-B9) | |
| 1,399 | 1,4 | =(B10+C10)/2 | =SIN(2*D10)-LN(D10) | =SIN(2*B10)-LN(B10) | =SIN(2*C10)-LN(C10) | =ABS(C10-B10) |
Пример. Определить приближённо с точностью 𝜀=0,001 корень уравнения 
методом половинного деления.
Решение.
Отрезок изоляции корня 
, 
, 
.
Промежуточные вычисления выполняем с точностью 0,1ε.
Расчеты проводим с помощью табличного редактора Microsoft Excel.
По формуле метода бисекции
имеем:
| № | a | b | x | f(x) | f(a) | f(b) | 
|
| 0 | 1,25 | 1,5 | 1,375 | 0,0632 | 0,3753 | -0,2643 | 0,25 |
| 1 | 1,375 | 1,5 | 1,4375 | -0,0995 | 0,0632 | -0,2643 | 0,125 |
| 2 | 1,375 | 1,438 | 1,4065 | -0,0184 | 0,0632 | -0,1008 | 0,063 |
| 3 | 1,375 | 1,407 | 1,391 | 0,0219 | 0,0632 | -0,0197 | 0,032 |
| 4 | 1,391 | 1,407 | 1,399 | 0,0011 | 0,0219 | -0,0197 | 0,016 |
| 5 | 1,399 | 1,407 | 1,403 | -0,0093 | 0,0011 | -0,0197 | 0,008 |
| 6 | 1,3990 | 1,4030 | 1,4010 | -0,0041 | 0,0011 | -0,0093 | 0,0040 |
| 7 | 1,3990 | 1,4010 | 1,4000 | -0,0015 | 0,0011 | -0,0041 | 0,0020 |
| 8 | 1,3990 | 1,4000 | 1,400 | -0,0002 | 0,0011 | -0,0015 | 0,0010 |
По последнему столбцу таблицы определяем выполнение условия остановки вычислений, т.е. .
- условие выполняется.
Ответ: корень уравнения 
с точностью 𝜀=0,001.☺
|
|
|
|
|
Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 46; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!