КАТЕГОРИИ:
Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)
Метод касательных
|
|
|
|
Метод хорд
(Метод секущих)
Пусть действительный корень уравнения 
отделён и функция 
непрерывна и дифференцируема на интервале 
изоляции корня.
Геометрически процесс решения задачи методом хорд означает, что на достаточно малом отрезке 
дуга кривой заменяется стягивающей её хордой; 
- первое приближение корня 
- есть абсцисса точки пересечения хорды с осью Ox. Таким образом, строится последовательность приближений 
к точному значению корня по заданному начальному приближению 
и точности ε.
Начальное приближение искомого корня определяется следующим образом:
Если выполняется неравенство
 , то  ,
и для расчётов выбираем формулу
|
Если выполняется неравенство
 , то  ,
и для расчётов выбираем формулу
|
В качестве условия окончания итераций выбирается условие близости двух последовательных приближений:
 .
|
Пример. Определить приближённо с точностью 𝜀=0,001 корень уравнения 
методом хорд.
Решение.
Отрезок изоляции корня 
, 
, 
.
Промежуточные вычисления выполняем с точностью 0,1ε.
Расчеты проводим с помощью табличного редактора Microsoft Excel.
Для выбора начального приближения и расчётных формул вычислим:
| a | b | f(a) | f(b) | fII(a) | fII(b) |
| 0,5 | 0,75 | -0,2679 | 0,7795 | 2,0905 | 2,7512 |
Таблица Microsoft Excel вспомогательных вычислений методом хорд, отображающая формулы
| A | B | C | D | E | F | |
| a | b | f(a) | f(b) | fII(a) | fII(b) | |
| 0,5 | 0,75 | =3^A2+2*A2-3 | =3^B2+2*B2-3 | =3^A2*(LN(3))^2 | =3^B2*(LN(3))^2 |
Так как , то для расчётов выбираем формулу
.
| № i | xi | f(xi) |
| 0 | 0,5 | -0,2679 |
| 1 | 0,5640 | -0,0140 |
| 2 | 0,5672 | -0,0007 |
| 3 | 0,567 | 0,0000 |
;
0,0000 
.
Ответ: корень уравнения 
с точностью 𝜀=0,001.☺
Пример. Определить приближённо с точностью 𝜀=0,001 корень уравнения 
методом хорд.
Решение.
Отрезок изоляции корня 
, 
, 
.
Промежуточные вычисления выполняем с точностью 0,1ε.
Расчеты проводим с помощью табличного редактора Microsoft Excel.
Для выбора начального приближения и расчётных формул вычислим:
| a | b | f(a) | f(b) | fII(a) | fII(b) |
| 1,25 | 1,5 | 0,3753 | -0,2643 | -1,7539 | -0,1200 |
Таблица Microsoft Excel вспомогательных вычислений методом хорд, отображающая формулы
| A | B | C | D | |
| a | b | f(a) | f(b) | |
| 1,25 | 1,5 | =SIN(2*A2)-LN(A2) | =SIN(2*B2)-LN(B2) | |
| (продолжение таблицы) | ||||
| A | B | E | F | |
| a | b | fII(a) | fII(b) | |
| 1,25 | 1,5 | =-4*SIN(2*A2)+1/A2^2 | =-4*SIN(2*B2)+1/B2^2 |
Так как , то для расчётов выбираем формулу
.
|
|
;
0,0000 .
Ответ: корень уравнения 
с точностью 𝜀=0,001.☺
(Метод Ньютона)
Пусть - корень уравнения , единственный на отрезке , и - начальное приближение корня. Вычислим значение функции 
и её производной 
. Значение этой производной равно 
– тангенсу угла наклона соответствующей касательной к оси абсцисс. Точка 
пересечения этой касательной с осью Ox есть первое приближение корня. Эта точка принимается за новое приближение, и процесс повторяется. Из рисунка видно, что процесс сходится к искомому корню . Процесс уточнения корня заканчивается при выполнении условия:
| .
|
Расчетная формула метода касательных:
|
За начальное приближение принимается точка, в которой знак функции совпадает со знаком второй производной.
|
Если выполняется неравенство
, то .
|
Если выполняется неравенство
, то .
|
Графическая иллюстрация метода касательных (Ньютона):
Пример. Определить приближённо с точностью 𝜀=0,001 корень уравнения методом касательных.
Решение.
Отрезок изоляции корня , , .
Промежуточные вычисления выполняем с точностью 0,1ε.
Расчеты проводим с помощью табличного редактора Microsoft Excel.
За исходную точку выбираем ту, в которой знак функции совпадает со знаком второй производной.
| a | b | f(a) | f(b) | fII(a) | fII(b) |
| 0,5 | 0,75 | -0,2679 | 0,7795 | 2,0905 | 2,7512 |
Так как , то для расчётов выбираем формулу
.
| № i | xi | f(xi) | f I(xi) |
| 0 | 0,7500 | 0,7795 | 4,504294 |
| 1 | 0,5769 | 0,0387 | 4,070692 |
| 2 | 0,5674 | 0,0001 | 4,049173 |
| 3 | 0,5674 | 0,0000 | 4,049116 |
Таблица Microsoft Excel вспомогательных вычислений методом касательных,
отображающая формулы
| K | L | M | N | |
| № i | xi | f(xi) | f I(xi) | |
| 0,75 | =3^L2+2*L2-3 | =3^L2*LN(3)+2 | ||
| =L2-M2/N2 | =3^L3+2*L3-3 | =3^L3*LN(3)+2 | ||
| =L3-M3/N3 | =3^L4+2*L4-3 | =3^L4*LN(3)+2 | ||
| =L4-M4/N4 | =3^L5+2*L5-3 | =3^L5*LN(3)+2 |
Так как 
, поэтому вычислительный процесс останавливаем. Заданная точность искомого корня достигнута.
0,0000 .
Ответ: корень уравнения с точностью 𝜀=0,001.☺
Пример. Определить приближённо с точностью 𝜀=0,001 корень уравнения методом касательных.
Решение.
Отрезок изоляции корня , , .
Промежуточные вычисления выполняем с точностью 0,1ε.
Расчеты проводим с помощью табличного редактора Microsoft Excel.
За исходную точку выбираем ту, в которой знак функции совпадает со знаком второй производной.
| a | b | f(a) | f(b) | fII(a) | fII(b) |
| 1,25 | 1,5 | 0,3753 | -0,2643 | -1,7539 | -0,1200 |
Таблица Microsoft Excel вспомогательных вычислений методом касательных, отображающая формулы
| A | B | C | D | |
| a | b | f(a) | f(b) | |
| 1,25 | 1,5 | =SIN(2*A2)-LN(A2) | =SIN(2*B2)-LN(B2) | |
| (продолжение таблицы) | ||||
| A | B | E | F | |
| a | b | fII(a) | fII(b) | |
| 1,25 | 1,5 | =-4*SIN(2*A2)+1/A2^2 | =-4*SIN(2*B2)+1/B2^2 |
Так как , то для расчётов используем формулу
.
| № i | xi | f(xi) | f I(xi) |
| 0 | 1,5000 | -0,2643 | -2,6467 |
| 1 | 1,4001 | -0,0018 | -2,5988 |
| 2 | 1,3994 | 0,0000 | -2,5983 |
| 3 | 1,400 | 0,0000 | -2,5983 |
Таблица Microsoft Excel вспомогательных вычислений методом касательных
в режиме отображения формул
| A | B | C | D | |
| № i | xi | f(xi) | f I(xi) | |
| 1,5 | =SIN(2*B2)-LN(B2) | =2*COS(2*B2)-1/B2 | ||
| =B2-C2/D2 | =SIN(2*B3)-LN(B3) | =2*COS(2*B3)-1/B3 | ||
| =B3-C3/D3 | =SIN(2*B4)-LN(B4) | =2*COS(2*B4)-1/B4 | ||
| =B4-C4/D4 | =SIN(2*B5)-LN(B5) | =2*COS(2*B5)-1/B5 |
Так как 
;
0,0000 , то вычислительный процесс останавливаем. Заданная точность искомого корня достигнута.
Ответ: корень уравнения с точностью 𝜀=0,001.☺
|
|
|
|
|
Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 46; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!