I. Приближённое решение нелинейных уравнений

Прикладное программирование

Пусть имеется нелинейное уравнение

.

Требуется найти корни этого уравнения, т.е. те значения x, которые обращают уравнение в тождество. При нахождении приближённого решения уравнения с заданной точностью ε выделяют два этапа: отделение корня и уточнение корня.

В общем случае не существуют формулы определения точных значений корней уравнения. Для нахождения корней нелинейного уравнения используют приближённые методы. Причём, если x – корень уравнения , а - приближённое значение корня, найденное с точностью ε, то выполняется неравенство

.

1. На этапе отделения корня определяется интервал из области определения функции , содержащий только один корень уравнения. Одна из точек этого интервала принимается за начальное приближение корня. В зависимости от метода уточнения корня требуется определить свойства отделённого корня и поведение функции на отрезке изоляции корня.

Пусть уравнение имеет только изолированные корни, т.е. для каждого корня существует некоторая окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.

Отделение действительных корней нелинейных уравнений можно производить графически и аналитически.

При графическом отделении корней исходное уравнение представляют в эквивалентном виде

и находят абсциссы точек пересечения графиков функций и , которые являются корнями исходного уравнения.

Аналитическое отделение корней основано на следующей теореме:

если непрерывная на отрезке функция , определяющая уравнение , на концах отрезка принимает значения разных знаков, т.е.

,

то внутри этого отрезка содержится, по крайней мере, один корень уравнения.

Если при этом функция непрерывна и дифференцируема, и её производная сохраняет знак внутри отрезка , то на этом отрезке находится только один корень уравнения.

Если на концах интервала функция имеет одинаковые знаки, то на этом интервале корни либо отсутствуют, либо их чётное количество.

2. На этапе уточнения корня - доведения приближённого значения до заданной степени точности, используют два типа методов: прямые и итерационные. В прямых методах корень уравнения может быть найден за конечное, заранее известное число операций. В итерационных методах корень определяется как предел некоторой последовательности

,

и решение не может быть найдено за конечное, заранее известное число операций.

Основные методы решения нелинейных уравнений являются итерационными: метод половинного деления (метод бисекции), метод хорд, метод касательных (метод Ньютона), метод простой итерации. Приближённые методы решения нелинейных уравнений широко используются в численных методах оптимизации.

Важной характеристикой итерационных методов является скорость сходимости процесса. Метод имеет n -й порядок сходимости, если

,

где С – постоянная, не зависящая от n. При n=1 имеет место сходимость первого порядка (линейная); при n=2 – второго порядка (квадратичная). Метод называют одношаговым, если для построения итерационной последовательности нужно вычислить функцию в одной точке; двушаговым – в дух и т.д.

Сравнение различных методов проводится по числу операций при реализации одной итерации и по скорости сходимости.

Пример. Отделить корень уравнения

.

Решение.

Преобразуем уравнение к эквивалентному виду:

.

Построим графики функций и .

Искомый корень уравнения – абсцисса точки пересечения графиков функций и .

По графику видим, что отрезок изоляции корня , , .

Проверим аналитически. Для этого вычислим значения функции на концах интервала изоляции корня.

в интервале имеется хотя бы один корень уравнения.

Производная сохраняет знак (положительна при любом x) внутри отрезка , следовательно, на этом отрезке находится только один корень уравнения. ☺

Пример. Отделить корень уравнения

.

Решение

Введём функцию .

Преобразуем уравнение к эквивалентному виду:

.

Построим графики функций и .

Искомый корень уравнения – абсцисса точки пересечения графиков функций и .

По графику видим, что отрезок изоляции корня ,

, .

Проверим аналитически. Для этого вычислим значения функции на концах интервала изоляции корня.

в интервале имеется хотя бы один корень уравнения.

Производная сохраняет знак (отрицательна при любом x) внутри отрезка , следовательно, на этом отрезке находится только один корень уравнения. ☺

Уточнение корней заключается в сужении интервала изоляции корня и выполняется одним из вышеперечисленных методов. Далее рассмотрим подробно методы приближённого решения нелинейных уравнений: укажем основную расчётную формулу, позволяющую по известному n -ому приближению корня найти следующее (n+1) -ое приближённое значение . Процесс уточнения корня прекращается, как только будет достигнуто условие

<ε.

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 74; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!