Ошибки выборочного наблюдения

Рассмотрим некоторые формулы ошибок для разных видов выборки.

s Применяя выборочный метод в статистике, обычно используют два основных вида обобщающих показателей: среднюю величину количе­ственного признака и относительную величину альтернативного призна­ка (долю или удельный вес единиц в статистической совокупности, ко­торые отличаются от всех других единиц этой совокупности только на­личием изучаемого признака).

Выборочная доля w, или частость, определяется отношением чис­ла единиц, обладающих изучаемым признаком т, к общему числу еди­ниц выборочной совокупности n:

w=m/n.

Например, если из 100 деталей выборки (n =100) 95 деталей оказа­лись стандартными (т =95), то выборочная доля равна:

w= 95/100 = 0,95.

Для характеристики надежности выборочных показателей различа­ют среднюю и предельную ошибки выборки.

Ошибка выборки () или, иначе говоря, ошибка репрезента­тивности представляет собой разность соответствующих выборочных и генеральных характеристик:

а) для средней количественного признака:

; (7.1)

б) для доли (альтернативного признака):

. (7.2)

Ошибка выборки свойственна только выборочным наблюдениям. Чем больше значение этой ошибки, тем в большей степени выбороч­ные показатели отличаются от соответствующих генеральных показате­лей.

Выборочная средняя и выборочная доля по своей сути являются случайными величинами, которые могут принимать различные значе­ния в зависимости от того, какие единицы совокупности попали в вы­борку. Следовательно, ошибки выборки также являются случайными ве­личинами и могут принимать различные значения. Поэтому определя­ют среднюю из возможных ошибок - среднюю ошибку выборки.

От чего зависит средняя ошибка выборки? При соблюдении прин­ципа случайного отбора, чем больше численность генеральной сово­купности при прочих равных условиях, тем меньше величина средней ошибки выборки.

Средняя ошибка выборки также зависит от степени варьирования изучаемого признака. Степень варьирования, как известно, характери­зуется дисперсией или - для альтернативного признака. Чем меньше вариация признака, а следовательно, и дисперсия, тем меньше средняя ошибка выборки, и наоборот. При нулевой дисперсии (признак не варьирует) средняя ошибка выборки равна нулю, т.е. любая единица генеральной совокупности будет совершенно точно характе­ризовать всю совокупность по этому признаку.

Зависимость средней ошибки выборки от ее объема и степени варьирования признака отражена в формулах, с помощью которых мож­но рассчитать среднюю ошибку выборки в условиях выборочного на­блюдения, когда генеральные характеристики (х, р) неизвестны, и сле­довательно, не представляется возможным нахождение реальной ошиб­ки выборки непосредственно по формулам (7.1), (7.2).

При случайном повторном отборе средние ошибки теоретически рассчитывают по следующим формулам:

а) для средней количественного признака:

, (7.3)

б) для доли (альтернативного признака):

. (7.4)

Поскольку практически дисперсия признака в генеральной сово­купности точно неизвестна, на практике пользуются значением дис­персии , рассчитанным для выборочной совокупности на основа­нии закона больших чисел, согласно которому выборочная совокупность при достаточно большом объеме выборки достаточно точно воспроиз­водит характеристики генеральной совокупности.

Таким образом, расчетные формулы средней ошибки выборки при случайном повторном отборе будут следующие:

а) для средней количественного признака:

, (7.5)

б) для доли (альтернативного признака):

. (7.6)

Однако дисперсия выборочной совокупности не равна дисперсии генеральной совокупности, и следовательно, средние ошибки выбор­ки, рассчитанные по формулам (7.5) и (7.6), будут приближенными. Но в теории вероятностей доказано, что генеральная дисперсия выража­ется через выборную следующим соотношением:

. (7.7)

Так как при достаточно больших п - величина, близкая к

единице, то можно принять, что , а следовательно, в практи­ческих расчетах средних ошибок выборки можно использовать форму­лы (7.5) и (7.6). И только в случаях малой выборки (когда объем выбор­ки не превышает 30) необходимо учитывать коэффициент и исчислять среднюю ошибку малой выборки по формуле:

. (7.8)

При случайном бесповторном отборе в приведенные выше форму­лы расчета средних ошибок выборки необходимо подкоренное выра­жение умножить на , поскольку в процессе бесповторной выборки сокращается численность единиц генеральной совокупности. Следовательно, для бесповторной выборки расчетные формулы сред­ней ошибки выборки примут такой вид:

а) для средней количественного признака:

; (7.9)

б) для доли (альтернативного признака):

. (7.10)

Так как п всегда меньше N, то дополнительный множитель всегда будет меньше единицы. Отсюда следует, что средняя ошибка при бесповторном отборе всегда будет меньше, чем при повторном. В то же время при сравнительно небольшом проценте выборки этот мно­житель близок к единице (например, при 5 %-ной выборке он равен 0,95; при 2 %-ной - 0,98 и т.д.). Поэтому иногда на практике пользуются для определения средней ошибки выборки формулами (7.5) и (7.6) без указанного множителя, хотя выборку и организуют как бесповторную. Это имеет место в тех случаях, когда число единиц генеральной сово­купности N неизвестно или безгранично, или когда n очень мало по сравнению с N, и по существу, введение дополнительного множителя, близкого по значению к единице, практически не повлияет на значе­ние средней ошибки выборки.

Механическая выборка. При достаточно большой совокупности ме­ханический отбор по точности результатов близок к собственно-случай­ному. Поэтому для определения средней ошибки механической вы­борки используют формулы собственно-случайной бесповторной вы­борки (7.9), (7.10).

Типическая выборка дает более точные результаты по сравнению с другими способами отбора единиц в выборочную совокупность. Ти­пизация генеральной совокупности обеспечивает репрезентативность такой выборки, представительство в ней каждой типологической груп­пы, что позволяет исключить влияние межгрупповой дисперсии на сред­нюю ошибку выборки. Поэтому при определении средней ошибки типи­ческой выборки в качестве показателя вариации выступает средняя из внутригрупповых дисперсий.

Среднюю ошибку выборки находят по формулам:

а) для средней количественного признака:

(повторный отбор); (7.11)

(бесповторный отбор); (7.12)

б) для доли (альтернативного признака):

(повторный отбор); (7.13)

(бесповторный отбор), (7.14)

где - средняя из внутригрупповых дисперсий по выборочной сово­купности;

- средняя из внутригрупповых дисперсий доли (альтер­нативного признака) по выборочной совокупности.

Серийная выборка. Поскольку внутри групп (серий) обследуются все без исключения единицы, средняя ошибка выборки (при отборе равновеликих серий) зависит только от межгрупповой (межсерийной) дисперсии.

Среднюю ошибку выборки для средней количественного признака

при серийном отборе находят по формулам:

(повторный отбор); (7.15)

(бесповторный отбор), (7.16)

где r - число отобранных серий; R - общее число серий.

Межгрупповую дисперсию серийной выборки вычисляют следую­щим образом:

где - средняя -й серии;

- общая средняя по всей выборочной совокупности. Средняя ошибка выборки для доли (альтернативного признака) при серийном отборе определяется по формуле:

(повторный отбор); (7.17)

(бесповторный отбор) (7.18)

Межгрупповую (межсерийную) дисперсию доли серийной выбор­ки определяют по формуле:

(7.19)

где - доля признака в -й серии;

- общая доля признака во всей выборочной совокупности.

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 59; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!