Исследование функций и построение графиков

Пример.

Правила дифференцирования. Вычисление производных.

Производная функции

Примеры.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

Производной функции y = f(x) в точке х₀ (обозначается y'(x₀) или f'(x₀)) называется предел отношения приращения функции в этой точке

к приращению аргумента при если этот предел существует:

y'(x₀) = .

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Таблица основных производных

1) (C)' = 0	7) (tg x)' =
2) (xn)' = n·xn-1	8) (ctg x)' =
3) (sinx)' = cos x	9) (arcsinx)' =
4) (cos x)' = -sin x	10) (arcos x)' =
5) (ax)' = ax ln a; (ex)' = ex	11) (loga x)' = ; (ln x) ' =
6) (arctg x)' =	12)y= arcctg x, y’ = −

Правила дифференцирования:

1. (u + v − w)'=u' + v' − w'.

2. (u · v)'=u' · v + u · v'.

3. , ().

4. Если функция дифференцируема в точке , а функция y = f(u) дифференцируема в точке , то сложная функция y = f( (x)) дифференцируема в точке , при этом .

Используя таблицу производных и правила дифференцирования, найти производные функции:

a) ;

b) ;

c) .

Решение.

а)

.

b) = = = .

c) Данная функция является сложной функцией y = u³(v), где u = log₂(5x − 3) и v = 5x – 3.

В соответствии с правилом дифференцирования сложной функции

.

Схема исследования функции y = f(x) и построения ее графика:

1. Определить область существования функции.

2. Исследовать функцию на четность и нечетность.

3. Найти координаты точек пересечения графика функции с осями координат.

4. Исследовать функцию на непрерывность, определить характер точек разрыва функции, если они имеются, найти асимптоты кривой.

5. Найти интервалы возрастания и убывания функции и ее экстремумы.

6. Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз, определить точки перегиба.

7. Построить график функции.

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 56; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!