Предел функции

Пример.

Парабола

Пример.

Гипербола

Пример.

Эллипс

Пример.

Окружность

Кривые второго порядка

Пример.

Прямая и плоскость в пространстве

Пример.

Написать уравнение прямой, проходящей через точки

М₁ (-1, 2, 3) и М₂(2, 6, -2).

Решение.

Используем уравнение (10):

,

или

− искомое уравнение прямой, проходящей через точки М₁(-1, 2, 3) и М₂(2, 6, -2).

Угол между прямой и плоскостью ax + by + cz + d = 0 определяется выражением

.

Условие параллельности прямой и плоскости имеет вид

a·m+b·n+c·p=0.

Условием перпендикулярности прямой и плоскости являются равенства

Найти проекцию точки М(3, 1, -1) на плоскость α: x + 2y + 3z -30 = 0.

Решение.

Нужно найти координаты точки М₀ , которая является основанием перпендикуляра, опущенного из точ ки М на плоскость α.

Составим параметрическое уравнение прямой ℓ (по условию прямая ℓ перпендикулярна плоскости α).

Для этого возьмем и используем координаты точки М.

Получаем x = t + 3, y = 2t + 1, z = 3t – 1.

Решая систему

Получаем t+3+4t+2+9t-3-30=0, 14t=28, t=2.

Тогда x=2+3=5, y=2·2+1=5, z=3·2-1=5.

Значит М₀(5, 5, 5) − искомая проекция точки М(3, 1, -1) на плоскость α.

Уравнение второй степени относительно двух переменных

Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0

при различных значениях постоянных коэффициентов A, B, C описывает четыре вида линий на плоскости: окружность, эллипс, гиперболу и параболу. Это уравнение называется общим уравнением кривых второго порядка.

Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки О(x₀, y₀), называемой центром окружности, (центра) на расстояние R. Число R > 0 называется радиусом окружности.

Нормальное уравнение окружности:

(x – x₀)²+(y – y₀)²=R²,

где x₀ ,y₀ – координаты центра окружности, R – радиус окружности.

После раскрытия скобок в этом уравнении получается общее уравнение окружности

Где , , .

Написать уравнение окружности радиуса R=7 и с центром в точке О(3, -5).

Решение.

После подстановки значений х₀ = 3, y₀ = -5 и R=7, получим

,

− искомое уравнение окружности.

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть постоянная величина 2а большая, чем расстояние между фокусами 2с.

Каноническое уравнение эллипса:

,

где , если а > b и фокусы находятся на оси Ох.

Параметры a и b называются полуосями эллипса.

Отношение с/а = называется эксцентриситетом эллипса.

Определить вид кривой .

Решение.

Дополним члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов:

.

Отсюда .

Разделив обе части уравнения на , получим

− уравнение эллипса с центром в точке О(1, -3/4).

Каноническое уравнение гиперболы, симметричной относительно осей координат, имеет вид

, где .

Параметр а называется вещественной полуосью гиперболы и представляет собой расстояние от начала координат до вершины гиперболы, параметр b называется мнимой полуосью.

Эксцентриситетом гиперболы называется величина .

Прямые, заданные уравнениями , являются асимптотами гиперболы.

Найти полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис гиперболы 9x²-16y²=144.

Решение.

Приведем данное уравнение к каноническому виду, разделив обе части уравнения на 144:

. Отсюда следует, что a²=16, b²=9.

Следовательно, a = 4 − действительная полуось, b = 3 − мнимая полуось.

Тогда

Значит, фокусы имеют координаты F₁(-5,0), F₂(5,0).

Находим эксцентриситет .

Уравнения асимптот имеют вид ,

а уравнения директрис .

Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой d (директрисы).

Каноническое уравнение параболы, проходящей через начало координат и симметричной относительно оси Ох, имеет вид

y²=2px

Уравнение вида

x²=2py

описывает параболу, симметричную относительно оси Оу.

Определить координаты фокуса и уравнение директрисы параболы y = x².

Решение.

Если поменять ролями оси Ох и Оу, то каноническое уравнение параболы примет вид: x² = 2px.

Сравнивая это уравнение с заданным, получим 2p = 1, отсюда p = 1/2.

Следовательно, фокус параболы имеет координаты (0,1/4),

а уравнение директрисы есть y=-1/4

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 45; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!