Основные свойства определенного интеграла

Пример.

Градиент.

Пример.

Пример.

Частные производные первого порядка.

Частные производные. Производная по направлению. Градиент.

Частной производной от функции z = f(x, y) по независимой переменной х называется конечный предел

,

вычисленный при постоянном значении у.

Частной производной по у называется конечный предел

,

вычисленный при постоянном значении х.

Для вычисления частных производных можно воспользоваться обычными правилами и формулами дифференцирования.

Найти и , если z = x²+3x

Решение.

При вычислении переменная y рассматривается как постоянная величина:

Рассмотрим теперь переменную х как постоянную величину:

Показать, что функция удовлетворяет уравнению

Решение.

Находим

(при постоянных y и z)

(при постоянных x и z)

(при постоянных y и x)

Возводим эти выражения в квадрат и подставляем в левую часть заданного уравнения:

Получаем тождественное равенство, т.е функция u удовлетворяет уравнению.

Градиентом функции z = f(x, y) в точке М(х, у) называется вектор с началом в точке М₀, координаты которого равны соответствующим частным производным и , вычисленным в точке М(х, у).

Градиент обозначается grad z = (, ).

Аналогично определяются градиент для функции трех переменных u = f(x, y, z) в точке М(x, y, z):

.

Градиент есть вектор, указывающий направление наибольшего возрастания функции u = f(M).

Производная функции трех переменных u = f(x, y, z) в точке М(x, y, z) по направлению вектора :

,

где – направляющие косинусы единичного вектора .

Найти градиент функции u = x² + 3xy² – z³у в точке М(-2, 3, -1).

Решение.

Находим частные производные данной функции:

Вычисляем значения этих производных в точке М(-2, 3, -1):

;

;

.

Окончательно получаем grad u(M) = (23; -35; -9)

Неопределенный интеграл

Непосредственное интегрирование

Функция F(x) называется первообразной по отношению к функции f(x), если F(x) дифференцируема и выполняется условие

.

Очевидно, что (F(x) + C)' = f(x), где С – любая константа.

Неопределенным интегралом от функции f(x) называется множество всех первообразных этой функции. Неопределенный интеграл обозначается .

Основные правила интегрирования.

1.

где С – произвольная постоянная.

2.

где a – постоянная величина.

3.

4. Если

и x= φ(x) –дифференцируемая функция,

то

В частности, свойство линейной замены

Таблица простейших интегралов.

1. (n ≠ -1); .

2. .

3. (a ≠ 0).

4. (a ≠ 0).

5. (a ≠ 0).

6. (a > 0).

7. , a > 0 (a ≠ 1); .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

Примеры.

Найти интегралы:

1. .

2. .

3. .

Решение.

1. Преобразуем интеграл к интегралу табличного вида, используя свойства неопределенного интеграла и свойства степенных функций:

2. Преобразуем интеграл к интегралу табличного вида, используя свойства неопределенного интеграла и свойства степенных функций:

.

3. Для вычисления интеграла воспользуемся свойством линейной замены.

.

Интегрирование методом подстановки

Положим x = φ(x). Получим . Тогда

(11)

Применение формулы (11) называется интегрирование методом подстановки.

По существу, подведение под знак дифференциала есть одна из реализаций метода замены переменной.

Пример.

Найти интегралы:

1. .

2. .

3. .

Решение.

1. Найдем интеграл .

Сделаем замену переменной , тогда . Исходный интеграл примет вид:

.

Таким образом, мы получили неопределенный интеграл табличного вида: степенная функция. Используя правило нахождения неопределенного интеграла от степенной функции, найдем:

.

Сделав обратную замену, получим окончательный ответ:

.

2. Найдем интеграл .

Положим . Отсюда . Следовательно,

.

3. Найдем интеграл .

Под знаком интеграла произведение двух функций и . Причём второй множитель является сложной функцией, где показательная функция – внешняя функция, а − внутренняя функция. Заметим, что производная внутренней функции

.

Тогда эту функцию обозначим за новую переменную .

Найдем .

Таким образом, получаем интеграл от новой переменной :

.

Интегрирование по частям

Если u=ψ(х), v=φ(х) − дифференцируемые функции, то справедлива формула

.

Пример.

Найти интегралы:

1. .

2. .

3. .

Решение.

1.Найдем интеграл .

Положим u = x, sinx dx = dv. Отсюда du = dx, v = -cosx.

Следовательно,

.

2. Найдем интеграл .

,

где

.

3. Найти интеграл .

Определенный интеграл

Нахождение определенного интеграла

Определенный интеграл является мощным средством исследования в математике, физике, экономике и т.д.

Разобьем отрезок на n частей точками деления:

. При этом .

Положим: .

В каждом из отрезков возьмем по точке, которые обозначим соответственно (рис. 11):

.

Составим интегральную сумму для функции на отрезке :

.

Если существует конечный предел от интегральной суммы , который не зависит от выбора точек , то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается:

,

где − нижний предел интегрирования; − верхний предел интегрирования; − подынтегральная функция, интегрируемая на отрезке ; − переменная интегрирования.

Исходя из определения, можно сказать, что определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма, когда шаг разбиения стремится к нулю.

Формула Ньютона-Лейбница:

.

1. .

2. .

3. .

4. .

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 44; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!