Основы математической статистики

Пример.

Пример.

Пример.

Контролер проверяет изделия на соответствие стандарту. Известно, что вероятность соответствия стандарту изделий равна 0,9.

а) Какова вероятность того, что из двух проверенных изделий оба будут стандартными, если события появления стандартных изделий независимы?

б) Какова вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное?

Решение.

а) Учитывая то, что событие А₁ (первое изделие стандартное) и А₂ (второе изделие стандартное) независимы, используем формулу

p(А₁ А₂) = p(А₁) p(А₂), т.е. p(А₁ А₂) = 0,9 · 0,9 = 0,81.

б) Пусть В₁ – событие, состоящие в том, что только первое изделие стандартное; В₂ – только второе изделие стандартное. Событие В можно рассматривать как произведение дух событий

В₁ = − появилось первое событие и не появилось второе.

Аналогично

В₂= − появилось второе событие и не появилось первое.

События В₁ и В₂ несовместные, поэтому

p(В₁+В₂) = pq + qp = 2 pq.

В данном случае

p(В₁ + В₂) =2 · 0,9 · 0,1 = 0,18.

Формула полной вероятности и формула Байеса

Если некоторое событие В совершается с одним из n несовместных событий А₁, А₂,… А_n, образующих полную группу событий, то для определения вероятности этого события может быть использована формула полной вероятности

где p(A_i) − вероятность события A_i,

− условная вероятность события В.

Для определения вероятности события A_i, при условии, что произошло событие В, используется формула Байеса

На автозавод поступили двигатели от трех моторных заводов. От первого завода поступило 10 двигателей, от второго − 6 и от третьего − 4 двигателя. Вероятности безотказной работы этих двигателей в течение гарантийного срока соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7. Какова вероятность того, что:

а) установленный на машине двигатель будет работать без дефектов в течение гарантийного срока;

б) проработавший без дефекта двигатель изготовлен на первом заводе, на втором заводе?

Решение.

Обозначим через А₁, А₂, А₃ события установки на автомашину двигателей, изготовленных соответственно на первом, втором и третьем моторных заводах. Вероятности этих событий таковы:

p(А₁) = 0,5; p(A₂) = 0,3; p(A₃) = 0,2.

а) Вероятность того, что наугад взятый двигатель проработает без дефектов, найдем по формуле полной вероятности:

p(В) = p(А₁)·p(В\А₁) + p(А₂)·p(В\А₂) + p(А₃)·p(В\А₃),

p(B)= 0,5·0,9 + 0,3·0,8 + 0,2·0,7 = 0,83.

б) Если двигатель проработал без дефектов гарантийный срок, то вероятности, что он изготовлен на первом, на втором заводах, найдем по формуле Байеса:

Основные числовые характеристики случайной величины

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма вида

М(Х) = x₁p₁ + x₂p₂ + … + x_np_n =

где x_i − возможные значения дискретной случайной величины;

p_i − вероятность появления значения x_i.

Свойства математического ожидания:

1. М(С) = С, 2. М(С·Х) = С·М(Х),

где С − произвольная постоянная величина (число).

3. M(X₁ X₂ … Х_n) = М(Х1) М(Х₂) … М(Х_n),

если Х_1, Х₂, …, Х_n − взаимно независимые случайные величины.

4. М(Х₁ + Х₂ +... + Х_n) = М(Х₁) + М(Х₂) +... + М(Х_n).

Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины.

Рассеяние случайной величины около среднего значения характеризуют дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = М(Х − М(Х))².

Дисперсию целесообразно вычислять по формуле

D(X) = М(Х²) − (М(Х))².

Свойства дисперсии:

1. D(C) = 0; 2. D(C·X) = C²D(X),

где С произвольная постоянная.

3. D(X_l + Х₂ +... + Х_n) = D(X₁) + D(Х₂) +... + D(Х_n),

где X_i − независимые случайные величины.

σ(Х) = ,

где σ(Х) − среднее квадратичное отклонение.

Даны законы распределения двух независимых случайных величин Х и Y:

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины

Z = 2Х + 3Y.

Решение.

Используя свойства математического ожидания и дисперсии, а также учитывая, что X и Y − независимые случайные величины, имеем:

M(Z) = М(2Х + 3Y) = М(2Х) + М(3Y) = 2М(Х) + 3М(Y);

D(Z) = D(2Х + 3Y) = D(2Х) + D(3Y) = 4 D(X) + 9D(Y).

По формуле М(Х) = вычислим М(Х) и М(Y):

М(Х) = 2 · 0,4 + 4 · 0,2 + 6 · 0,1 + 8 · 0,3 = 4,6;

М(Y) = 0 · 0,5 + 1 · 0,2 + 2 · 0,3 = 0,8.

Тогда

M(Z) = 2 · 4,6 + 3 · 0,8 = 11,6.

По формуле D(X) = М(Х²) − (М(Х))² вычислим D(Х) и D(Y).

Вначале найдем М(Х²) и М(Y²):

М(Х²) = 4 · 0,4 + 16 · 0,2 + 36 · 0,1 + 64 ·0,3 = 27,6;

M(Y²) = 0 · 0,5 + 1 · 0,2 + 4 · 0,3 = 1,4.

Затем вычислим значения D(X) и D(Y):

D(X) = М(Х²) − (М(Х))² = 27,6 − 4,6² = 6,44;

D(Y) = M(Y²) − (М(Y))² = 1,4 − 0,8² = 0,76.

Окончательно получим

D(Z) = 4 · 6,44 + 9 · 0,76 = 32,6.

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 47; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!