Линейная регрессия со сгруппированными данными

Пример.

Срок хранения продукции, изготовленной по технологии А, составил:

а изготовленной по технологии В:

Предположив, что случайные величины X и Y распределены по нормальному закону, проверить гипотезу Н₀: при уровне значимости α = 0,1 и альтернативной гипотезе Н₁: .

Решение.

Вычислим «исправленные» выборочные дисперсии .

Для этого вначале найдем , :

; .

Тогда

;

.

Учитывая, что определим f_r:

.

Критическое значение находим из условия если , то

P(F(ℓ₁ = n − 1, ℓ₂ = m − 1) > ) = α/2.

По условию α=0,1. Значит

P(F(ℓ₁ = 10 − 1=9, ℓ₂ = 17 − 1=16) > ) = 0,05;

По таблице F-распределения (Приложение 2 стр.79) определяем = 2,54.

Так как число f_r = 5,64 попадает в критическую область (2,54;+∞), то гипотезу о равенстве дисперсий среднего срока хранения продукции, изготовленной по технологиям А и В, отвергаем.

В том случае, когда варианты парной выборки встречаются по не­скольку раз, причем с одним значением варианты х_i может встретиться несколько вариант у_j, их обычно представляют в виде корреляционной таблицы. На пересечении строк и столбцов этой таблицы отмечается частота n_ij выбора соответствующей пары (x_i, y_j), а частоты вариант x_i (i = 1, 2, …, k ₁), y_j (j = 1, 2, …, k ₂) находятся как суммы значений n_ij по соответствующей строке или столбцу.

Например, в корреляционной таблице

xi yj
		−
				n= 16

Пара (10; 5) встречается 3 раза, т.е. n₁₁ = 3, а частота появления величины y₁ = 5 находится как сумма = 3 + 2 = 5.

Очевидно, что .

Для коэффициента корреляции случайных величин X и У в случае сгруппированных данных используется выражение

,

где , .

После подсчета , , σ_XB, σ_YB, r_B получают выборочное уравнение линейной регрессии У на X в виде

.

или выборочное уравнение линейной регрессии X на У в виде

.

Для упрощения расчетов часто используются условные варианты, которые подсчитываются по формулам

u_i = (x_i − C₁)/ h₁, v_j = (y_j − C₂)/ h₂.

где С_1, С₂ − ложные нули (выбираемые значения);

h_1, h₂ − разности между соседними значениями соответственно X и У.

Для обратного перехода применяются выражения

, ,

, ,

, ,

Где − средние значения условных вариант;

− средние квадратичные отклонения условных вариант.

Для подсчета выборочного коэффициента корреляции в этом случае используется формула

,

где , .

Подсчитав выборочный коэффициент корреляции через условные варианты и осуществив переход к условным переменным, получают соответствующие уравнения регрессии.

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 104; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!