Прямая в пространстве

Пример.

Плоскость

Уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору получается на основе использования скалярного произведения двух векторов. Пусть M(x, y, z) – произвольная точка плоскости α(рис 3).

Тогда и по условию перпендикулярности векторов получаем уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М₀ и перпендикулярной вектору :

a(x-x₀)+b(y-y₀)+c(z-z₀) = 0 (5)

После раскрытия скобок в уравнении (5) получается уравнение

ax + by + cz + d = 0, (6)

где d = − ax₀ – by₀ – cz₀.

Уравнение (6) называется общим уравнением плоскости в пространстве.

Вектор ={a, b, c} называется нормальным вектором плоскости, заданной уравнениями (5) или (6).

Если плоскость проходит через три точки М(а, 0, 0), N(0, b, 0) и P(0, 0, c), лежащие на осях координат, то ее уравнение имеет вид

(7)

Уравнение (7) называется уравнением плоскости в отрезках на осях.

Угол, образованный двумя плоскостями, находятся по формуле

где − нормальный вектор плоскости a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0,

− нормальный вектор плоскости a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0.

Условие параллельности плоскостей имеет вид

Условием перпендикулярности плоскостей является равенство

.

Расстояние от точки до плоскости ax + by +cz + d = 0

определяется по формуле

.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(5; 5; 0) и перпендикулярной вектору = (4; 3; 2).

Решение.

Используя уравнение (5), получаем

4(x-5)+3(y-5)+2(z-0)=0.

Тогда

4x+3y+2z-35=0 − искомое уравнение плоскости, проходящей через точку М(5; 5; 0) и перпендикулярной вектору = (4; 3; 2).

Прямая в пространстве может быть задана двумя пересекающимися плоскостями (рис 4), уравнения которых a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0 и

a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0.

Тогда уравнения прямой будет иметь вид:

(8)

Уравнение (8) называют общим уравнением прямой в пространстве.

Уравнение прямой ℓ, проходящей через точку и параллельной вектору получают на основе условия коллинеарности двух векторов и :

(9)

Уравнение (9) называют каноническим уравнением прямой.

Вектор называется направляющим вектором прямой.

Уравнения прямой, проходящие через точки и записываются в виде

(10)

Параметрическое уравнение прямой получают, если каждое из отношений (9) приравнять к параметру t:

Угол между двумя прямыми с направляющими векторами и определяется по формуле

.

Условие параллельности двух прямых записывается в виде

.

Условие перпендикулярности двух прямых записывается в виде

.

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 49; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!