Вибір найближчого елемента в стовпці j матриці відстаней 7 страница

, (1)

. (2)

Рівняння (1) є рівнянням отримання коштів, а (2) є рівнянням витрачання коштів, при цьому ясно, що x_ij ≥ 0, x_i > 0, x_j′ > 0.

Загальний консолідований бюджет n виконавців D буде дорівнювати:

(3)

Матриця X=(x_ij) (i,j= ) буде представляти розподіл бюджетів між n виконавцями і має вигляд:

(4)

Нехай a'_ij= (i,j= ) є частина бюджету яка j-тий виконавець витрачає на розрахунки з i-тим виконавцем, а = (i,j= ) – частина бюджету, яку i-тий виконавець отримує від j-ого виконавця.

Побудуємо матрицю А₁, елементи якої дорівнюють a'_ij:

(5)

Транспоновану матрицю назвемо матрицею розподілу бюджетів для витрачання коштів. Матрицю А₂, елементами якої є , будемо називати матрицею розподілу бюджетів для отримання коштів:

(6)

Із побудови матриць (5), (6) витікає, що сума елементів матриць і А₂ у кожному рядку дорівнює одиниці.

Треба відзначити, що для того, щоб фінансові відносини між виконавцями були збалансованими і бездефіцитними, необхідно, щоб виконувались умови:

(7)

У загальному випадку, який розглядається, за допомогою (5)-(7) отримаємо матричні рівняння:

, (8)

, (9)

де , є вектори станів розподілів коштів між виконавцями у процесі отримання і витрачання відповідно (при виконанні умов (12) матриці А₂ і виявляються подібними).Транспонована матриця і матриця А₂ задовольняють умовам:

, (10)

. (11)

Умови (10) і (11) відповідають означенню елементів стохастичної матриці. Тому матриці і А₂ визначають матриці переходу (за один крок) із стану в стан ланцюга Маркова. У зв’язку зі стохастичністю і А₂ добутки цих матриць А₂ і А₂ теж являються стохастичними. Тому їх компоненти можна розглядати як умовні ймовірності переходу із одного стану в інший. Матриці А₂ і А₂ будемо називати матрицями отримання і витрачання коштів відповідно. Для повного визначення ланцюга Маркова ще необхідно задавати початковий розподіл випадкової величини.

Теорема ергодичності Маркова дозволяє знаходити граничні ймовірності випадкових величин. Ланцюг Маркова, для якого існують граничні ймовірності p_ij називається ергодичним.

Граничні розподіли бюджетів (розподіли, які не змінюються при подальшій взаємодії виконавців проектів) при отриманні коштів =( і при витрачанні коштів =() будуть визначатися рівняннями:

, (12)

, (13)

де і є умовами нормування;

=( і =(), як ми бачимо, являються власними векторами матриць А₂ і А₂ відповідно. Відзначимо, що граничні стани, як і у попередньому підрозділі означають закінчення проекту.

Відзначимо, що у випадку бездефіцитної взаємодії партнерів граничні стани матриць А₂ і А₂ співпадають, а =( і =() можуть бути знайдені із системи рівнянь (17) чи (18), тобто для дослідження збалансованого бездефіцитного процесу виконання проекту достатньо мати або матрицю А₂ , або А₂.

Граничний розподіл загального бюджету проекту між виконавцями буде дорівнювати добутку:

(14)

Розглянемо запропоновану модель на двох прикладах: бездефіцитних та в умовах дефіциту бюджетів виконавців проекту.

Нехай проект виконується трьома виконавцями.

У прикладі бездефіцитного виконання проекту х_i= (i,j= ) коефіцієнти обсягів коштів від продажів і закупівель представлені у таблиці 1, де S₁, S₂, S₃ –стани процесу, що відповідають бюджетам виконавців.

Таблиця 1 – Розподіл загального бюджету проекту

	S1	S2	S3	Сума
S1				x1
S2				x2
S3				X3
Сума				D=1200

Знайдемо граничні розподіли бюджетів і .

Побудуємо матрицю А₁:

A₁= (15)

Транспонована матриця має вигляд:

(16)

Для матриці А₂ знаходимо вираз:

A₂= (17)

З системи рівнянь (12) і (13) отримаємо значення граничних сталих векторів =(1/6,1/2,1/3) і =(1/6,1/2,1/3). Як і повинно було бути, вони дорівнюють один одному ( = ).

Розглянемо другий приклад. У таблиці 17 приведені дані розподілу бюджету виконавців у загальному випадку х_i ≠ (i,j= ).

Таблиця 2 – Розподіл загального бюджету між виконавцями

	S1	S2	S3	Сума
S1				x1
S2				x2
S3				х3
Сума				D=1000

Матриця А₁ має вигляд:

A₁= (18)

Транспонуємо матрицю А₁ і отримуємо :

(19)

Будуємо матрицю А₂:

A₂= (20)

З системи рівнянь (12) і (13) отримаємо значення граничних для =(3/10,3/10,2/5) і =(1/5,1/2,3/10).

Рівняння (19) визначає сальдо для кожного виконавця при закінченні виконання проекту:

D( – )=1000( =(100,-200,100). (21)

Другий виконавець має від’ємне сальдо -200, перший і третій – позитивні +100. Після розрахунку цього сценарію місцева влада може змінити правило розподілу бюджету проекту між виконавцями (змінити матриці А₁ і А₂), зробити перерозподіл кінцевих бюджетів для вирівнювання коштів між виконавцями, або виділити кошти для ліквідації від’ємного сальдо виконавців, розуміючи і оцінюючи позитивні наслідки виконання проекту для регіону і виконавців.

Для ланцюгів Маркова можна знаходити ймовірність переходу із стану i у стан j через n кроків на (n+1). Ця ймовірність визначається величиною , де є елементом матриці яка дорівнює добутку (n+1) матриць L, при цьому ймовірнісний вектор (розподіл бюджетів виконавців проекту через n кроків) є розв’язком рівняння:

. (22)

У нашому випадку матриця L дорівнює А₂ або А₂.

На рисунку 1 приведено покроковий перехід розподілу бюджетів виконавців до стаціонарного стану для першого прикладу: L= А₂ = А₂, якщо початковий розподіл дорівнює компонентам вектора .

Запропонована модель дозволяє прогнозувати результати виконання проектів, корегувати їх, контролювати витрачання бюджетних коштів, особливо у кризовий період, коли надходження до бюджету як місцевого, так і державного суттєво зменшуються.

Рисунок 1 – Розподіл бюджетів виконавців

Примітка. Р – відносні бюджети виконавців, n – кількість переходів із одного стану системи у інший.

ГЛОСАРІЙ

Аналіз — передбачає вивчення й узагальнення одержаної інформації про динаміку соціально-економічних процесів у зіставленні з відповідними цільовими індикаторами.

Вимірювання передбачає створення та вдосконалення системи соціально-економічних показників (індикаторів) і методів кіль­кісного оцінювання їх.

Динамічний ряд — це сукупність спостережень одного показ­ника, впорядкованих залежно від значень іншого показника, що послідовно зростають або спадають.

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 65; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!