Вибір найближчого елемента в стовпці j матриці відстаней 6 страница

f_ме – частота медіанного інтервалу.

Тема 6. Застосування методу аналізу ієрархій (маі)

у фінансових розрахунках

Лекція 6.2. Застосування МАІ у плануванні бюджетних програм

План

1. Використання МАІ у ПЦМ планування цільових бюджетних програм

2. Традиційний спосіб використання МАІ у виборі виконавців проектів

Мета:

на конкретних прикладах навчити використовувати МАІ та ПЦМ у фінансових розрахунках

Література:

Основна:

[14]

Додаткова:

[21]

Питання для самоконтролю:

1. Як можуть бути пов’язані МАІ і ПЦМ?

2. Чим відрізняються структури МАІ у ПЦМ і традиційному застосуванні?

3. Чи можна знаходити деякі параметри структури ієрархії за іншими відомими параметрами?

Метод аналізу ієрархій (МАІ) може бути ефективно використаний у ПЦМ. Метою може бути отримання максимального ефекту від розподілу бюджетних коштів. Для прикладу ми обрали чотири критерії (К₁, К₂, К₃, К₄), яким відповідають ефекти у соціальній, гуманітарній, економічній сферах, екологічний ефект. Альтернативи (А₁, А₂, А₃) – це проекти, які обговорюються для бюджетного фінансування. Ця структура МАІ визначає не тільки пріоритет проектів, а й за необхідної наявності коштів їх розподіл за проектами. Якщо коштів бракує, то за визначеними пріоритетами можна вилучати проекти у порядку зростання їх показників. Зауважимо, що МАІ може бути використаний для випадків з необмеженою кількістю критеріїв та альтернатив.

Структура ієрархії МАІ для обраного прикладу представлена на рисунку 2.

Для визначення відносних коефіцієнтів-показників у структурі ієрархії треба створити таблиці парних порівнянь на основі експертних оцінок.

При відсутності кількісного порівняння застосовується якісна шкала вимірювань. Ця шкала записується у наступному вигляді: рівна важливість 1:1, слабка перевага 3:1, помірна перевага 5:1, абсолютна перевага 9:1.

В рядку записуємо експертні порівняння значимості (ваги) першої структурної одиниці відносно інших. Ця процедура повторюється по всіх рядках. Зауважимо, що таблиці відповідають обернено-симетричним матрицям (; у прикладах, які будуть розглядатися, , і тільки для матриці парних порівнянь критеріїв К₁ і К₂ , а ), тобто їх елементи задовольняють умові

(1)

де – це елемент матриці (і – номер рядка, а j – це номер стовпця як в матриці, так і у відповідній їй таблиці).

Рисунок 1 – Структура ієрархії МАІ з використанням ПЦМ

Власний вектор V_n матриці парних порівнянь відносно n визначається за формулою

(2)

Відзначимо, що Т. Сааті використовує чотири еквівалентні способи, вираз (2) є одним з них.

Нехай на основі парних порівнянь критеріїв відносно мети на основі експертних оцінок побудована таблиця 3.

Таблиця 1 – Матриця парних порівнянь критеріїв К₁, К₂, К₃, К₄ відносно мети

В наведеній табл. 1 за висновками експертів визначено, що К₁/К₂=4/3; К₁/К₃=2; К₁/К₄=4; К₂/К₃=3/2; К₂/К₄=3; К₃/К₄=2. Вільні місця заповнюються згідно формули (1). V_Мі знайдемо за формулою (2):

V_М1=4/10; V_М2=3/10; V_М3=2/10; V_М4=1/10.

Аналогічно здійснюється побудова таблиць 2-5.

Таблиця 2 – Матриця парних порівнянь альтернатив відносно критерію К₁

Таблиця 3 – Матриця парних порівнянь альтернатив відносно критерію К₂

Таблиця 4 – Матриця парних порівнянь альтернатив відносно критерію К₃

Таблиця 5 – Матриця парних порівнянь альтернатив відносно критерію К₄

Глобальні пріоритети альтернатив А₁, А₂, А₃ визначаються за сумою добутків всіх векторів V на відповідному шляху (за стрілками) від мети до альтернативи. В нашому прикладі глобальні пріоритети альтернатив W_А дорівнюють:

W(A) = (3)

Таким чином, третій проект має найбільший пріоритет, за ним йде другий проект, а найменший – перший проект.

При заповненні матриць попарних порівнянь людина може робити помилки.

Однією з можливих помилок є порушення транзитивності: з a_ij> a_jk, a_jk>a_is, може не слідувати a_ij>a_is (a_ij – елементи матриці попарних порівнянь).

По-друге, можливі порушення узгодженості чисельних суджень: a_ija_jk≠a_ik.

Для виявлення неузгодженості запропонований підрахунок індексу узгодженості порівнянь, здійснюваний по матриці парних порівнянь. Викладемо алгоритм цього підрахунку.

1. У матриці парних порівнянь підсумовуються елементи кожного стовпця – S_j.

2. Сума елементів кожного стовпця множиться на відповідні нормалізовані компоненти вектора ваг, визначеного з цієї ж матриці.

3. Отримані числа підсумовуються, значення суми позначаємо як λ_max.

4. Знаходимо індекс узгодженості L = (λ_max - n) / (n - 1), де n – число порівнюваних елементів (розмір матриці).

5. Обчислюється відношення узгодженості T = L / R, де R – число випадкової узгодженості, яке обирається з таблиці 8:

Таблиця 6 – Число випадкової узгодженості R

У завданнях, що вимагають дуже точних результатів необхідно прагнути до високого рівня узгодженості. При застосуванні методу бажаним вважається рівень T ≤ 0,1. Якщо значення Т перевищує цей рівень, рекомендується провести порівняння наново і перевірити свої судження.

Наведемо приклад. Нехай Q₁, Q₂, Q₃ – це критерії або альтернативи відносно відповідних елементів структури ієрархії.

Таблиця 7 – Матриця парних порівнянь

За наведеним вище алгоритмом знаходимо відповідні значення величин.

λ_max=(S,V(q))=q₁*s₁+q₂*s₂+q₃*s₃=

L== (λ_max –n) / (n – 1)= (4)

T=L/R= <0.1

Як ми бачимо, рівень узгодженості Т < 0,1. Таким чином, судження ОПР узгоджені.

Наведемо приклад традиційного використання МАІ для вибору найкращого виконавця бюджетного проекту.

Визначимо структури і матриці парних порівнянь.

Мета – вибір найкращого виконавця бюджетного проекту.

Критерії:

− К₁ – науковий потенціал;

− К₂ – термін виконання роботи;

− К₃ – сума коштів, необхідних для виконання проекту.

Підкритерії:

− К₁₁ – наукові публікації;

− К₁₂ – досвід (кількість виконаних проектів за запропонованою тематикою).

Альтернативи: установи (А₁, А₂, А₃).

Побудуємо ієрархічну структуру МАІ для поставленої задачі. Вона представлена на рисунку 3.

Нехай за експертними оцінками сформовані таблиці парних порівнянь (таблиці 10-15).

Таблиця 8 – Матриця парних порівнянь критеріїв К₁,К₂,К₃ відносно цілі задачі

Таблиця 9 – Матриця парних порівнянь під критеріїв К₁₁, К₁₂ відносно критерію К₁

Таблиця 10 – Матриця парних порівнянь альтернатив А₁, А₂, А₃ відносно під критерію К₁₁

Рисунок 2 – Ієрархічна структура МАІ для вибору виконавця бюджетної програми

Таблиця 11 – Матриця парних порівнянь альтернатив А₁, А₂, А₃ відносно під критерію К12

Таблиця 12 – Матриця парних порівнянь альтернатив А1, А2, А3 відносно критерію К2

Таблиця 13 – Матриця парних порівнянь альтернатив А₁, А₂, А₃ відносно критерію К₃

Розрахуємо глобальні пріоритети альтернатив А₁, А₂, А₃, за правилами, які були означені у попередніх підрозділах:

W_A1=

W_A2= (5)

W_A3= .

З виразів (5) витікає, що перша установа має суттєву перевагу перед іншими. Відзначимо, що кількість критеріїв, підкритеріїв і альтернатив можна розширяти.
Тема 7. моделювання економічних систем з використанням марковських ймовірнісних процесів

Лекція 7.1. Марковські ймовірнісні процеси. Ланцюги Маркова

План

1. Основні поняття

2. Побудова матриць переходу системи із стану в стан

3. Моделювання процесів за допомогою ланцюгів Маркова

Мета:

поновити і розширити знання студентів про Марковські процеси і їх використання в економіці

Література:

Основна:

[2], [4]

Додаткова:

[17]

Питання для самоконтролю:

1. Що таке Марковські ймовірнісні процеси?

2. Як побудувати матрицю переходів системи із стану в стан?

3. Чи можна знайти покроковий стан системи? Що для цього потрібно зробити?

4. Як знайти граничний стан системи?

Моделювання економічних систем при використанні марковських випадкових процесів

Основні поняття марковських процесів

Функція Х(t) називається випадковою, якщо її значення для будь-якого аргументу t виявляється випадковою величиною.

Випадковою величиною називаємо яку-небудь чисельну характеристику, значення якої принципово неможливо передбачити точно і яка залежить від випадку.

Випадкова функція Х(t), аргументом якої є час, називається випадковим процесом.

Випадковий процес, який протікає в якій-небудь системі S, називається марковським (або процесом без наслідків), якщо він має наступну властивість: для будь-якого моменту часу t₀ ймовірність будь-якого стану системи у майбутньому (t > t₀) залежить тільки від його стану у теперішній час (t = t₀) та не залежить від того, коли і яким чином система S прийшла у цей стан.

Класифікація марковський процесів:

− з дискретними станами і дискретним часом (ланцюг Маркова);

− з неперервними станами і дискретним часом (марковські послідовності);

− з дискретними станами і неперервним часом (неперервний ланцюг Маркова);

− з неперервними станами і неперервним часом.

Граф станів. Марковські процеси з дискретними станами зручно представляти за допомогою графів станів, де колами позначені стани S₁, S₂, … системи S, а стрілками – можливі прямі переходи із одного стану до іншого. Можливі затримки системи у стані позначаються стрілкою, яка виходить і входить у цей же стан (петлею).

Випадкова послідовність подій називається марковським ланцюгом, якщо для кожного кроку ймовірність переходу із будь-якого стану S_і у будь-який стан S_j не залежить від того, коли і як система прийшла до стану S_j. Початковий стан S(0) може бути заданий раніше, або випадковим чином.

Ймовірностями станів ланцюга Маркова називаються ймовірності Р_і(к) того, що після k-ого кроку (і до k +1) система S буде знаходитись у стані S_і (). Очевидно, що для будь-якого k виконується рівність

Початковий розподіл ймовірностей марковського ланцюга має вигляд Р₁(0), Р₂(0), …, Р_і(0), …, Р_n(0).

Імовірністю переходу на k-ом кроці із стану S_і до стану S_j називається умовна ймовірність того, що система S після k-ого кроку опиниться у стані S_j при умові, що перед цим (після k-1 кроку) вона знаходилась у стані S_і.

Імовірності переходу будемо задавати у вигляді матриці , де Р_ij – ймовірність переходу за один крок із стану S_і до стану S_j, Р_iі – ймовірність затримки системи у стані S_і. Матриця називається перехідною або матрицею перехідних ймовірностей.

Якщо перехідні ймовірності не залежать від номера кроку, а залежать тільки від того, з якого до якого стану проходить перехід, т відповідний ланцюг Маркова називається однорідним.

Елементи стовпців перехідної матриці представляють собою ймовірності всіх можливих переходів за один крок у заданий j-й стан.

Елементи рядків перехідної матриці відповідають ймовірностям всіх можливих переходів із обраного і-го стану, при цьому сума елементів будь-якого рядка дорівнює одиниці.

Якщо для однорідного ланцюга Маркова задані початковий розподіл ймовірносте станів і матриця перехідних ймовірностей , то ймовірності станів системи Р_і(к) (, ) визначаються за рекурентною формулою

,

а граничний стан Р_і^*, який не залежить від початкового розподілу ймовірностей, за теоремою ергодичності знаходимо з матричного рівняння

Важливою рисою ринкової економіки є наявність безробіття, яке характеризується рівнем зареєстрованих безробітних і кількістю вакантних посад. На наш погляд, різниця між цими величинами характеризує реальну кількість безробітних, тому що вакантні робочі місця дають можливість працевлаштування.

В доповіді представлена можливість дослідження при використанні теорії ланцюгів Маркова покрокового (через певні однакові проміжки часу) розподілу реального рівня безробіття між районами регіону зі стабільним станом економіки, коли загальний рівень реального безробіття у ньому залишається сталою величиною.

Поєднаємо райони регіону у три групи: перша S1 – місто, друга S2 – райони з розвинутою промисловістю, третя S3 – інші райони.

Нехай реальна кількість безробітних у регіоні і трьох групах на початку року дорівнює: Х=36000, х =1000, х =25000, х =10000 відповідно (Х=х +х +х ). Після першого місяця (першого кроку) реальна кількість безробітних у групах змінилась. Із першої групи роботу знайшли у другій і третій групах 100 і 10 безробітних, із другої групи роботу знайшли у першій і третій групах 5000 і 1000 безробітних, а із третьої групи у першій і другій групах роботу знайшли 1000 і 500 безробітних відповідно.

Статистичні ймовірності розподілу (переходу із стану в стан) реального рівня безробіття через місяць по групах районів (станам S1, S2, S3) дорівнюють:

- для S1 - =890/1000=0,89, =100/1000=0,1, =10/1000=0,01;

- для S2 - =5000/25000=0,2, =19000/25000=0,76, =1000/25000=0,04;

- для S3 - =1000/10000=0,1, =500/10000=0,05, =8500/10000=0,85.

Перехідна матриця процесу розподілу реального безробіття буде мати вигляд:

Статистична ймовірність розподілу реального безробіття на початку року була =(1000/36000, 25000/36000, 10000/36000). Знайдемо вектор розподілу через один місяць:

(689/3600, 1960/3600, 951/3600)

За допомогою теореми ергодичності Маркова можна знайти вектор граничного розподілу реального рівня безробіття по групах, які вивчаються:

,

Із цього матричного рівняння отримаємо систему рівнянь для невідомих компонентів :

Побудована система рівнянь має рішення Р=(0,609; 0,277; 0,114). Таким чином, у граничному стані системи ми маємо сталий розподіл реальних безробітних між трьома групами районів (станів S1, S2, S3). Коли дорівнює Р граничного стану, n визначить час (кількість кроків).

Знайдемо час (кількість кроків), за який система перейде до граничного стану. Графік покрокової зміни стану системи можна побудувати за формулою

де - добуток n матриць L, а - вектор стану через n кроків.

Рисунок 1. Залежність вектору стану системи від кількості кроків

Тема 7. моделювання економічних систем з використанням марковських ймовірнісних процесів

Лекція 7.2. Використання ланцюгів Маркова у розподілі бюджету проекту між виконавцями

План

1. Обґрунтування постановки завдання

2. Побудова матриць розподілу бюджетів для витрачання та отримання коштів виконавцями проекту

3. Знаходження граничних станів системи

4. Покрокова зміна станів системи

Мета:

розширити область застосування ланцюгів Маркова у моделюванні фінансових процесів

Література:

Основна:

[2], [4]

Додаткова:

[17]

Питання для самоконтролю:

1. Які важливі питання треба вирішувати місцевим владним органам при плануванні цільових проектів?

2. Чим відрізняються матриці при підходах бездефіцитного і в умовах дефіциту виконання проекту?

3. Як здійснити перехід від дефіцитного до бездефіцитного підходу?

4. Який сенс елементів матриці переходів системи із стану в стан?

Витрачання коштів на реалізацію інвестиційних проектів, регіональних програм на території регіону збільшує доходну частину місцевого бюджету.

Для місцевих бюджетів вигідним є витрачання усіх коштів на реалізацію інвестиційних проектів, регіональних програм на території регіону або у вигляді підтримки вітчизняного регіонального виробника шляхом цільових закупівель, або у вигляді інвестування в об’єкти, які мають вплив на соціально-економічне становище у регіоні. Бездефіцитне для виконавців завершення проекту не завжди можливе, якщо всі кошти залишаються у межах регіону. Замовникам – місцевій владі можна рекомендувати розширений підхід до розподілу коштів між виконавцями, який враховує окремо видатки і доходи. Якщо виконавець наприкінці проекту має негативне сальдо, то можна перерозподіляти (зрівнювати) прибуткові кошти, або додати «ображеним» виконавцям кошти з місцевого бюджету. Використовуючи цю схему розподілу коштів, місцева влада може не тільки прогнозувати підсумковий результат, а й корегувати саму схему.

Нехай знову обрано n виконавців проекту з бюджетом D, a x₁, x₂ … x_n – це виділені кошти для кожного виконавця.

Нехай x_i –загальний обсяг коштів i-ого виконавця, отриманий надання послуг, продаж обладнання, матеріалів тощо, а x_j – загальний обсяг коштів j-ого виконавця, витрачений на розрахунки з партнерами. Позначимо через x_ij обсяг коштів (при зафіксованому i) i-ого виконавця, отриманих від j-ого виконавця у процесі виконання проекту, а x_ij при зафіксованому j буде визначати обсяг коштів j-ого виконавця, який він витратив на розрахунки з i-тим виконавцем. У цьому випадку

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 108; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!