Упорядкована діаграма Чекановського

Невпорядкована діаграма Чекановського

Матриця відстаней між одиницями

Подальше перетворення вищенаведеної матриці полягає в тому, що обчислені відстані розбиваються на класи за заздалегідь встановленим інтервалам. Потім кожному виділеному класу присвоюють умовний графічний знак. Перетворена таким чином таблиця називається невпорядкованою діаграмою Чекановського.

Припустимо, що серед відстаней, наявних в матриці, виділено три класи. Першого класу, з найменшими чисельними значеннями, відповідає символ «Х»; другого класу, з великими чисельними значеннями відстаней, а значить, з парами елементів, більше відрізняються один від одного, присвоєно знак «•»; нарешті, третього класу, до якого входять найбільші відстані, тобто пари одиниць, найбільш різняться між собою, відповідає символ □. Припустимо тепер, що при введених позначеннях неупорядкована діаграма Чекановського має вигляд, показаний у табл. 2.2.

Таблиця 2.2

У наведеній невпорядкованою діаграмі черговість запису одиниць цілком випадкова. На це вказує виразний розкид символів, що визначають найменшу різницю між досліджуваними одиницями. Для їх лінійного впорядкування слід провести перегрупування знаків «Х» і «•». Перегрупування повинна виконуватися таким чином, щоб зазначені знаки виявилися якомога ближче до головної діагоналі діаграми. З цією метою відповідні одиниці (а отже, і відповідні їм рядки і стовпці) переставляються до тих пір, поки не вийде упорядкована діаграма[2].

Виконання зазначених перетворенні призводить до лінійного упорядкування одиниць. Черговість їх запису відповідає результатам, представленим в табл. 2.3.

Таблиця 2.3

2.2. Таксономічний показник РІВНЯ РОЗВИТКУ

2.2.1. СТАТИЧНА ХАРАКТЕРИСТИКА МНОЖИНИ ЕЛЕМЕНТІВ

Для зіставлення об'єктів, які характеризуються великою кількістю ознак, найчастіше застосовуються таксономічні процедури. Одним з перших методів дослідження багатовимірних об'єктів був запропонований 3. Хельвігом таксономічний показник рівня розвитку. Цей показник являє собою синтетичну величину, «рівнодіючу» всіх ознак, що характеризують одиниці досліджуваної сукупності, що дозволяє з його допомогою лінійно упорядкувати елементи даної сукупності.

Процес побудови таксономічного показника рівня розвитку починається з визначення елементів матриці спостережень X, представленої виразом (1.1). Як відомо, елементами цієї матриці є значення ознак, виражені в специфічних для кожної ознаки одиницях виміру. Тому необхідно провести стандартизацію. Процедура стандартизації ознак призводить не тільки до елімінування одиниць виміру, а й до вирівнювання значень ознак. При цьому відбувається втрата інформації, тому в деяких випадках слід вводити ієрархію ознак за допомогою коефіцієнтів ієрархії (див. 5.2).

Коефіцієнти ієрархії дозволяють розрізняти ознаки по їх важливості. Вони встановлюються на основі якісного аналізу впорядкуванням ознак за їх значимістю, або за допомогою інших методів.

Наступний крок в розглянутій процедурі полягає в диференціації ознак матриці спостережень. Всі змінні діляться на стимулятори і дестимулятори. Підставою поділу ознак на дві групи служить характер впливу кожного з них на рівень розвитку досліджуваних об'єктів. Ознаки, які надають позитивний, стимулюючий вплив на рівень розвитку об'єктів, називаються стимуляторами, на відміну від ознак, які надають гальмівний вплив і тому називаються дестимуляторів.

Поділ ознак на стимулятори і дестимулятори служить основою для побудови, так званого, еталона розвитку, який є точкою Р₀ з координатами:

(2.1)

(2.2)

I – множина стимуляторів, z_rs – стандартизоване значення ознаки s для одиниці r.

Відстань між окремими точками-одиницями і точкою Р₀, що представляє еталон розвитку, позначається c_i0 і розраховується наступним чином:

(2.3)

Отримані відстані служать вихідними величинами,використовуваними при розрахунку показника рівня розвитку:

(2.4)

де

(2.5)

(2.6)

(2.7)

Показник рівня розвитку d_i^* характеризується тим, що є величиною позитивною і лише з ймовірністю, близькою до нуля, може виявитися більше одиниці. Інтерпретація його наступна: дана одиниця перебуває на тим більш високому рівні розвитку, чим ближче значення показника рівня розвитку до нуля.

На практиці звичайно використовується модифікований показник розвитку:

(2.8)

Інтерпретується він у такий спосіб: дана одиниця тим більше розвинена, чим ближче значення показника рівня розвитку до одиниці.

Показник рівня розвитку служить для статичної характеристики набору об'єктів. З його допомогою можна оцінити досягнутий в деякий період або момент часу «середній» рівень значення ознак, що характеризують досліджуване явище. Проте проведення аналізу змін, що відбуваються за певний проміжок часу, виявляється досить складним, так як, взагалі кажучи, нормуються величина c₀, а також координати еталона розвитку піддаються змінам.

Інший спосіб виміру «середнього» рівня значень ознак був запропонований М. Цесляк. Абсолютний показник рівня розвитку розраховується наступним чином:

(2.9)

причому

(2.10)

де x_ik – значення ознаки k для об'єкта i; s_k – стандартне відхилення значень ознаки k.

Використовувані в даній формулі значення ознак x′_ik завжди позитивні, звідси і значення показника m_i завжди позитивні. Економічна інтерпретація абсолютного показника рівня розвитку виглядає так: одиниця i досягла тим більш високого рівня розвитку, чим більше значення показника m_i.

2.2.2. ДИНАМІЧНА ХАРАКТЕРИСТИКА ОДНОГО ЕЛЕМЕНТА

Таксономічний показник рівня розвитку спочатку служив для визначення рівня економічного розвитку, досягнутого обраної групою країн. Проте він настільки універсальний, що може використовуватися не тільки в дослідженнях, що відносяться до сукупності статистичних одиниць, але і при аналізі властивостей однієї одиниці. В останньому випадку властивості одиниці характеризуються значеннями ознак, заданими у вигляді часових рядів. Така постановка задачі дозволяє отримати узагальнену картину змін, що відбуваються в досліджуваному наборі ознак за певний проміжок часу. У результаті отримують картину зміну, що відбуваються в значеннях ознак даної одиниці. Саме таке розуміння таксономічного показника рівня розвитку як показника, який у зведеній формі представляє напрямок та масштаб змін, що відбуваються в розвитку досліджуваних статистичних одиниць, ми тепер і приймаємо. Кожен з аналізованих процесів представлений набором ознак, що характеризують досліджуване явище.

Попередньою операцією, з якої починається побудова показника рівня розвитку, є визначення елементів матриці спостережень X:

(2.11)

де x_ik – значення ознаки k в період i.

Значення ознак, що входять до цієї матрицю, піддаються стандартизації. У разі необхідності можна також ввести відповідні коефіцієнти ієрархії.

Потім переходять до побудови еталона розвитку. З цією метою всі ознаки поділяються на стимулятори і дестимулятори. Перше підмножина утворюють ознаки, високі значення яких бажані з точки зору обраного аспекту дослідження. А в якості дестимуляторів виступають ознаки з протилежними властивостями. Найбільші значення стимуляторів і найменші значення дестимуляторів утворюють координати шуканого еталона розвитку.

Тепер вже можна перейти до виконання розрахунків, які безпосередньо призводять до отримання таксономічного показника рівня розвитку:

(2.12)

або

(2.13)

причому

(2.14)

(2.15)

(2.16)

(2.17)

(2.18)

(2.19)

де I – множина стимуляторів, z_rs — стандартизоване значення ознаки s у період r.

Обчислені таким чином значення показника рівня розвитку описують динаміку змін досліджуваних наборів ознак. Вони в узагальненій формі представляють зміни, що відбуваються в аналізованому явищі. Це становить саме головне достоїнство нових показників, так як з їх допомогою досягається істотне спрощення опису дійсності при збереженні найбільш важливих її закономірностей, відображених у даному наборі ознак.

2.2.3. ДИНАМІЧНА ХАРАКТЕРИСТИКА МНОЖИНИ ЕЛЕМЕНТІВ

Одночасне дослідження декількох статистичних одиниць починається з встановлення наборів ознак, що характеризують явища, які підлягають аналізу. Кожна матриця спостережень окремо включає ознаки, які докладним чином відбивають властивості кожної статистичної одиниці. Якщо індивідуальну матрицю спостережень одиниці j позначити символом Х_j, то зведену матрицю, що охоплює всі r досліджуваних одиниць, можна представити у вигляді блочної матриці:

Х₀ = [Х₁ Х₂... Х_j...Х_r]. (2.20)

Наступна операція - визначення координат зведеного еталона розвитку. Еталон повинен містити стільки елементів, скільки ознак мається у зведеній матриці спостережень. Його також можна представити у вигляді блочної матриці, елементами якої є індивідуальні еталони розвитку окремих статистичних одиниць. У цьому випадку можна записати, що

Р₀ = [Р₁ Р₂... Р_j...Р_r], (2.21)

де Р₀ – зведений еталон розвитку, Р_j – індивідуальний еталон розвитку одиниці j.

Тепер можна перейти безпосередньо до розрахунку зведеного показника рівня розвитку, що визначається формулою:

(2.22)

причому

(2.23)

(2.24)

(2.25)

(2.26)

де r – число розглянутих статистичних одиниць; n_j – число ознак, що характеризують досліджуваний аспект для одиниці j; z_0s – координати еталона розвитку; z_is – стандартизоване значення ознаки s у період i.

Побудований таким чином зведений показник рівня розвитку відображає досліджуване явище (процес), характеризуючи всі розглянуті статистичні одиниці. Величина показника відображає сукупні зміни, які відбулися в значеннях ознак цих одиниць. Це становить незаперечну перевагу пропонованого показника. З іншого боку, його недоліком є те, що в ньому не враховуються зміни, що відбуваються з окремими одиницями, вплив цих змін на загальну величину показника. Не відомі ні напрями змін окремих складових, ні масштаби цих змін.

З цих причин необхідно провести подальшу модифікацію пропонованого показника, а саме визначити залежність, що характеризує вплив змін індивідуальних показників рівня розвитку кожної одиниці на зведений показник рівня розвитку, що відноситься до всіх одиниць. Індивідуальні показники рівня розвитку кожної одиниці, які слід визначити у цьому випадку, обчислюються на основі модифікації формули (2.23). Модифікація полягає в заміні відстані с_i0 на інше, яке позначається символом с_i0,j і розраховується за наступною формулою:

(2.27)

де i = 1, 2,..., t; j = 1, 2,..., r; n_j – число ознак, що характеризують досліджуваний аспект одиниці j; z_0s,j – координати еталона розвитку одиниці j.

Виведену звідси залежність між квадратом відстані, розрахованого для зведеного показника рівня розвитку, і квадратами відстаней для індивідуальних показників рівня розвитку можна представити за допомогою співвідношення:

(2.28)

яке можна також записати в іншій формі:

(2.29)

Перетворимо формули, які служать для розрахунку показників рівня розвитку:

(2.30)

Звідси можна встановити залежність між зведеним та індивідуальними показниками рівня розвитку:

(2.31)

Ввівши замість внормовують множників коефіцієнти

Ввівши замість множників, що внормовують, коефіцієнти

(2.32)

отримаємо шукану залежність у такій формі:

(2.33)

Залежність (2.33) дозволяє визначати вплив індивідуальних показовий рівня розвитку кожної одиниці на загальну величину зведеного показника рівня розвитку, досягнутого всіма одиницями, разом узятими.

Після незначних перетворень формулу (2.33) можна використовувати також для оцінки динаміки змін зведеного показника рівня розвитку, викликаних відмінностями в динаміці індивідуальних показників рівня розвитку. Суть справи полягає тут у визначенні змін індивідуальних показників та їх мінливого від періоду до періоду впливу на зведений показник. Для проведення такого роду оцінок служить формула

(2.34)

причому

(2.35)

(2.36)

Для полегшення декілька складної інтерпретації отриманої формули згадаємо інтерпретацію таксономічного показника рівня розвитку d_i^*. Як відомо, ця величина приймає значення в інтервалі (0,1). Значення, близькі до нуля, з'являються тоді, коли досягнуті в даний період значення ознак лише незначно відрізняються від еталонних. Навпаки, значення, близькі до одиниці, свідчать про суттєві відмінності між значеннями ознак, досягнутими досліджуваним об'єктом у даному періоді, і еталоном розвитку. Крім того, низькі значення цього показника вказують на високі значення ознак і навпаки. Звідси видно, що інтерпретація результатів, які утворюються за допомогою пропонованої форми показника, в якій фігурують величини d_i^*, представляє серйозне утруднення. Про позитивну ситуації в досліджуваному об'єкті можна буде говорити тоді, коли величина буде негативною, оскільки тоді наступний період характеризується в цілому великими значеннями ознак, що означає прийняття показником d_i^* меншого значення в порівнянні з його значенням у попередньому періоді. Отже, про позитивні зміни значень ознак, що характеризують досліджуваний аспект об'єкта, які виражаються у зростанні рівня їх значень, будуть свідчити негативні прирости отримувані з формули (2.34). Очевидно, що про негативні результати будуть свідчити позитивні значення приростів.

Тема 2. Застосування методу таксономії

у фінансових розрахунках

Лекція 2.2. Нелінійне упорядкування досліджуваних одиниць

План

1. Вроцлавська таксономія – метод дендритів

2. Діаграма Чекановського виділення груп елементів

3. Оптимальне розбиття дендритів

4. Групування і вибір репрезентантів

5. Присвоєння коефіцієнтів ієрархії

Мета:

навчити студентів нелінійному упорядкуванню одиниць при використанні графічного підходу побудови структур упорядкування

Література:

Основна:

[13]

Додаткова:

[16]

Питання для самоконтролю:

1. Чим відрізняються лінійне і нелінійне упорядкування одиниць, які досліджуються?

2. Що таке скупчення к-ого порядку при упорядкуванні елементів?

3. Як можна розбити множину на однорідні підмножини?

4. Для чого використовується метод виділення діагностичних ознак?

5. Які Ви знаєте способи розрахунку коефіцієнтів ієрархії для діагностичних ознак?

Вроцлавська Таксономія: ДЕНДРИТ

Метод вроцлавської таксономії часто називається методом дендритів[3]. Автори цього методу визначають дендрит [4] як ламану, «... яка може розгалужуватиметься, але не може містити замкнутих ламаних, і така, що будь-які дві точки безлічі Z нею з'єднані». Цим методом отримують нелінійне упорядкування досліджуваних одиниць, що, з одного боку, повніше характеризує дійсність, але, з іншого боку, створює більше труднощів при інтерпретації. Нелінійне впорядкування характеризується відсутністю явної ієрархії, що виражається в тому, що деякі одиниці можуть бути пов'язані з великим числом інших одиниць (наприклад, з п'ятьма). У цьому випадку відсутня чітко визначається порядок, не відомо, який елемент є попереднім, а який наступним.

Розглянуті випадки впорядкування можна представити графічно у вигляді крапок або кругів (з вписаними в них позначеннями одиниць), пов'язаних відрізками. Точки, що зображують одиниці, найчастіше називаються вершинами, а відрізки – зв'язками (дугами). Згадані лінійний і нелінійний способи впорядкування ілюструють рис. 2,1 і рис. 2.2.

Рис. 2.1. Лінійне упорядкування одиниць

Рис. 2.2. Нелінійні упорядкування одиниць

Представлені на малюнках упорядкування, очевидно, не вичерпують всі можливі ситуації. У зв'язку з цим виникає завдання вибору найкращого впорядкування, що полягає в знаходженні такого дендрита, в якому суміжні одиниці будуть найменш відрізнятися значеннями ознак. Виконання цієї умови призведе до впорядкування за найменшими відстанями між окремими елементами. В оптимальному дендрит – з найменшою сумою довжин зв'язків – суміжні об'єкти в найменшій мірі відрізняються один від одного. Тому при порівнянні різних упорядкування об'єктів і виборі найкращого впорядкування виходять з довжини зв'язків дендрита.

Таблиця 2.4

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 162; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!