Вибір найближчого елемента в стовпці j матриці відстаней 4 страница

AR(p)+MA(q)→ARMA(p,q)→ARMA(p,q)(P,Q)→ARIMA(p,q,r)(P,Q,R)→

AR(p) -авторегресивна модель порядку р

Модель має вигляд:

де Y(t) –залежна змінна у момент часу t. - оцінювані параметри. E(t) - помилка від впливу змінних, які не враховуються в даній моделі. Завдання полягає в тому, щоб визначити. Їх можна оцінити різними способами. Найправильніше шукати їх через систему рівнянь Юла-Уолкера, для складання цієї системи буде потрібно розрахунок значень автокореляційної функції. Можна поступити простішим способом - порахувати їх методом найменших квадратів.

MA(q) -модель з ковзаючим середнім порядку q

Модель має вигляд:

Де Y(t) -залежна змінна у момент часу t. - оцінювані параметри.

Авторегресійне ковзне середнє ARMA(p,q)

Під позначенням ARMA(p,q) [3] розуміється модель, p авторегресійних складових, що містить q, ковзаючих середніх.

Точніше модель ARMA(p,q) включає моделі AR(p) і MA(q):

Зазвичай значення помилки вважають незалежними однаково розподіленими випадковими величинами, узятими з нормального розподілу з нульовим середнім: де — дисперсія. Припущення можна ослабити, але це може привести до зміни властивостей моделі. Наприклад, якщо не припускати незалежності і однакового розподілу помилок, поведінка моделі суттєво міняється.

ARIMA (p,d,q)

У завданні аналізу тимчасового ряду з складною структурою часто використовуються моделі класу ARIMA(p,d,q)[2] (авторегресійне інтегрування ковзаючого середнього - Autoregressive Integrated Moving Average) порядку (p,d,q), які моделюють різні ситуації, що зустрічаються при аналізі стаціонарних і нестаціонарних рядів. Залежно від аналізованого ряду модель ARIMA (p,d,q) може трансформуватися до авторегресійної моделі AR(p), моделі ковзного середнього MA(q) або змішаній моделі ARMA (p,q). При переході від нестаціонарного ряду до стаціонарного значення параметра d, що визначає порядок різниці, приймається рівним 0 або 1, тобто цей параметр має тільки цілочисельні значення. Зазвичай обмежуються вибором між d = 0 і d = 1. Проте з поля зору дослідників випадає ситуація, коли параметр d може приймати дробові значення.

ARFIMA(p,d,q)

Для ситуації розгляду дробових значень порядку різниці, в роботах зарубіжних учених, в першу чергу, C.W.Granger, J.R.Hosking, P.M.Robinson, R. Beran, був запропонований новий клас моделей ARFIMA(p,d,q)[2] (F: fractional - дріб), що допускає можливість нецілого параметра d і авторегресійний дріб інтегрований процес ковзного середнього. Такі ряди володіють своєю специфікою: самоподібністю, дробовою розмірністю, поволі спадаючою кореляцією. Прогнозування тимчасових рядів за допомогою моделі ARFIMA(p,d,q) відкриває ширші перспективи для підвищення точності прогнозу.

Модель вигляду ARIMA (p,d,q)(P,D,Q)S

ARIMA (p,d,q)(P,D,Q)S [1], де: p - авторегресійні доданки; D - різниці; q - доданки ковзаючого середнього; P – сезонні авторегресійні доданки; D – сезонні різниці на інтервалі S; Q – доданки сезонного ковзаючого середнього.

Таким чином, можна рекомендувати просту модель експоненціального згладжування:

F_t+1 = αA_t + (1 - α)F_t,

де F_t+1 – новий прогноз; F_t – прогноз в останній період; A_t – фактичний результат в останній період; α – константа згладжування (). В умовах стабільного процесу часто .

Експоненціальне згладжування з урахуванням тренду:

FIT_t = F_t + T_t,

де FIT_t – прогноз з урахуванням тренду, F_t – прогноз, T_t = (1-b) T_t-1 + b(F_t - F_t-1), T_t і T_t-1 – згладжені тренди у періодах t i t-1 відповідно, b – обрана константа згладжування. Початкове значення тренда може бути отримано на основі припущення.

Тема 5. Моделювання як метод прогнозування

Лекція 5.2. Прогнозування при наявності сезонної варіації

План

1. Адитивна модель прогнозування

2. Мультиплікативна модель прогнозування

3. Перевірка моделі на автокореляцію

Мета:

навчити студентів використовувати моделі прогнозування при наявності сезонних варіацій

Література:

Основна:

[2], [3], [5], [7], [12]

Додаткова:

[20]

Питання для самоконтролю:

1. Як заповнюється стовпець ковзаючої середньої для парних і непарних сезонів?

2. Як заповнюється скоректована сезонна варіація в адитивній і мультиплікативній моделях?

3. Як знаходяться параметри лінійного тренду?

4. Як знаходяться прогнози для адитивної моделі?

5. Як знаходяться прогнози для мультиплікативної моделі?

6. Що означає перевірка моделі на автокореляції?

Прогнозування при врахуванні сезонної варіації.

Для адитивної моделі маємо

А = T + S + E,

де А – фактичне значення, Т – трендові значення, S – сезонна варіація, Е – помилка.

Розглянемо приклад.

Побудуємо таблицю

Один рік складається з 4 кварталів, тому сковзаючу середню знаходимо через відношення суми чотирьох послідовних значень з другого стовбцю до 4 і результат записуємо у третій стовбець послідовно з 3-го рядку до 10-го (сума складається з 4 елементів). Півсуми двох сусідніх чисел 3-го стовбцю записуємо у 4-й стовбець у 3 рядок напроти верхнього значення у 2-гому стовбцю.

Якщо при заповненні 3-го стовбцю сковзаюча середня обчислюється для непарного числа сезонів, то результат записуємо напроти середнього доданку і отримані дані не треба центрувати (тобто 4 стовбець не треба заповнювати).

5-й стовбець – це різниця 2-го та 4-го стовбців (2-го та 3-го стовбців для непарного числа сезонів).

У наступній таблиці оцінки сезонної варіації записуємо від відповідним номером кварталу. В кожному стовбці обчислюємо середнє значення, яке записуємо в рядку «Середня» (округляємо до одного знаку після коми). Скоректуємо значення середньої так, щоб загальна сума дорівнювала нулю. Суму рядку «Середня» поділяємо на кількість кварталів у році – 4. Значення округляємо до одного знаку після коми. У нашому випадку -1/4=-0,25 округляємо для непарних стовбців до -0,3, а для парних – до -0,2. Віднімаємо ці значення від відповідних значень середні і записуємо у рядок «Скоректованих сезонних варіацій».

Проводимо десезонолізацію даних: віднімаємо від значень 2-го значення 3-го стовбцю та записуємо у 4-й.

Рівняння лінії тренда Т = а + bх, де а і b – параметри, а х – номер кварталу, знаходимо з відомих формул регресійного аналізу:

.

Таким чином, Т = 1,9 + 1,1х.

Помилку знаходимо з різниці десезонолізованого об’єму продажів і тренду (А - S = T + E)_і – Т_і = е_і.

Середнє абсолютне відхилення , а середньоквадратична помилка . Значення помилок достатньо великі, що може сказатися на прогнозах.

Прогноз об’єму продажів у 12-му кварталі (y=T + S)

(1,9 + 1,1*12) + (-0,9) = 14,2 (тис.у.о.)

Прогноз у 13-у кварталі: (1,9 + 1,1*13) + 2 = 18,2 (тис.у.о.).

Мультиплікативна модель

В деяких часових рядах значення сезонної варіації залежить від частини трендового значення.

В таких випадках використовується мультиплікативна модель:

А = T * S + E,

де А – фактичні значення, Т – трендові значення, S – сезонна варіація, Е – помилки.

Розглянемо модель на прикладі. Нехай задані об’єми продажу за 11 кварталів.

Побудуємо таблицю, 4 стовбці якої формуємо за правилами попереднього прикладу. У п’ятий стовбець заносимо результати відношення відповідних значень другого і четвертого стовбців (результати округляємо до третього знаку після коми).

Значення сезонної варіації – це частини. Число сезонів у році – 4, тому сума середніх повинна дорівнювати 4. Коректування сезонної варіації полягає у множенні середніх значень на множник, який дорівнює відношенню 4 і суми середніх – 4/3,994. Результати представлені у наступній таблиці.

Проводимо десезонолізацію даних і поділяємо фактичні дані на S – скоректовану сезонну варіацію.

Рівняння лінії тренду знаходимо за відомими формулами, які приведені у попередньому прикладі:

Т = а + bх, де а= 81,6, а b = 1,2, х – номер кварталу.

Середнє абсолютне відхилення дорівнює MAD = 1, а середнє квадратична помилка MSE = 1,6. Помилки невеликі, тому що складають біля 1%.

Прогнози об’єму продажу на 12 і 13 квартали дорівнюють (81,6 + 1,2*12)*1,4 ≈ 135,4 (тис.у.о.) і (81,6 + 1,2*13)*0,757 ≈ 73,6 (тис.у.о.) відповідно.

Перевірка моделі на автокореляцію (залежність залишків y_i – y_Ti ).

Критерій Дарбіна-Уотсона:

− обчислюють статистику d:

де y_i, y_i-1 – рівні фактичного динамічного ряду; y_Ti, y_Ti-1 – теоретичні (прогнозні) рівні динамічного ряду, n – об’єм вибірки.

Можливі значення d знаходяться у проміжку 0 ≤ d ≤ 4. Згідно методу Дарбіна та Уотсона існує верхня d_s і нижня d_n границі значень статистики d. Ці критичні значення залежать від α, n і числа пояснюючих змінних m (для трендових моделей m = 1). Значення d_s і d_n для 5 % рівня значущості знаходяться з таблиць. Далі нерівності вказують на таке:

1) d_n ≤ d ≤ 4 - d_s – приймається гіпотеза: автокореляція відсутня;

2) 0 ≤ d ≤ d_n – приймається гіпотеза про позитивну автокореляцію залишків;

3) d_n ≤ d ≤ d_s - для значущості 5 % немає визначеного висновку;

4 - d_s ≤ d ≤ 4 - d_n

4) 4 - d_n ≤ d ≤ 4 – приймається гіпотеза про негативну автокореляцію залишків.

Для вибірки n <15 використовують коефіцієнт автокореляції r_a:

де d – статистика Дарбіна-Уотсона. Якщо r_a ≤ r_aТ, де r_aТ – табличне значення для критичного значення коефіцієнта автокореляції з f = n, то рівні динамічного ряду незалежні.

Тема 6. Застосування методу аналізу ієрархій (маі)

у фінансових розрахунках

Лекція 6.1. Застосування МАІ і ПЦМ у бюджетному плануванні

План

1. Теоретичні основи МАІ

2. Основні поняття програмно-цільового методу

3.Експертні оцінки.

Мета:

ознайомити студентів із сучасними методами прийняття рішень

Література:

Основна:

[14]

Додаткова:

[21]

Питання для самоконтролю:

1. Для чого може використовуватись МАІ?

2. Що таке структура ієрархії?

3. Як будуються рівні структури ієрархії?

4. Які недоліки МАІ?

5. Які питання вирішує МАІ?

6. Які питання вирішує ПЦМ?

7. Які методи експертних оцінок Ви знаєте?

Теоретичні основи МАІ

Хоча для практичного застосування МАІ необхідність спеціальної підготовки не потрібна, основи методу викладають у багатьох навчальних закладах. Крім того, цей метод широко застосовується у сфері управління якістю і читається в рамках багатьох спеціалізованих програм, таких як Six Sigma, Lean Six Sigma і QFD. Близько ста китайських університетів пропонують курси з основ МАІ, і багато здобувачів наукових ступенів вибирають МАІ як об’єкт наукових та дисертаційних досліджень. Опубліковано більше 900 наукових статей з даної тематики. Існує китайська науковий журнал, що спеціалізується в області МАІ. Раз на два роки проводиться Міжнародний симпозіум, присвячений МАІ (International Symposium on Analytic Hierarchy Process, ISAHP), на якому зустрічаються як науковці, так і практики, що працюють з МАІ. У 2007 р. симпозіум проходив у Вальпараїсо, Чилі, де було представлено понад 90 доповідей науковців з 19 країн, включаючи США, Німеччину, Японію, Чилі, Малайзію, і Непал.

Метод аналізу ієрархій містить процедуру синтезу пріоритетів, обчислюваних на основі суб’єктивних суджень експертів. Число суджень може вимірюватися дюжинами або навіть сотнями. Математичні обчислення для задач невеликої розмірності можна виконати вручну або за допомогою калькулятора, однак набагато зручніше використовувати програмне забезпечення (ПЗ) для введення та обробки суджень. Найпростіший спосіб комп’ютерної підтримки – електронні таблиці, найрозвиненіше ПЗ передбачає застосування спеціальних пристроїв для введення суджень учасниками процесу колективного вибору. Порядок застосування методу аналізу ієрархій:

а) побудова якісної моделі проблеми у вигляді ієрархії, що включає мету, альтернативні варіанти досягнення цілі і критерії для оцінки якості альтернатив;

б) визначення пріоритетів всіх елементів ієрархії з використанням методу парних порівнянь;

в) синтез глобальних пріоритетів альтернатив шляхом лінійної згортки пріоритетів елементів на ієрархії;

г) перевірка суджень на узгодженість;

д) Прийняття рішення на основі отриманих результатів.

Розглянемо ці кроки докладніше. Перший крок МАІ – побудова ієрархічної структури, що об’єднує мета вибору, критерії, альтернативи і інші фактори, що впливають на вибір рішення. Побудова такої структури допомагає проаналізувати всі аспекти проблеми і глибше вникнути в суть завдання.

Ієрархічна структура – це графічне представлення проблеми у вигляді перевернутого дерева, де кожен елемент, за винятком самого верхнього, залежить від одного або більше вище розташованих елементів. Часто в різних організаціях розподіл повноважень, керівництво і ефективні комунікації між співробітниками організовані в ієрархічній формі.

Ієрархічні структури використовуються для кращого розуміння складної реальності: ми розкладаємо досліджувану проблему на складові частини; потім розбиваємо на складові частини вийшли елементи і т.д. На кожному кроці важливо фокусувати увагу на розумінні поточного елемента, тимчасово абстрагуючись від всіх інших компонентів. При проведенні такого аналізу приходить розуміння всієї складності та багатогранності досліджуваного предмета.

Як приклад, можна навести ієрархічну структуру, яка використовується під час навчання у медичних вузах. У рамках вивчення анатомії окремо розглядається кістково-м’язова система (яка включає такі елементи, як руки і їх складові: м’язи й кістки), серцево-судинна система (і її множинні рівні), нервова система (і її компоненти і підсистеми) і т.д. Ступінь деталізації доходить до клітинного і молекулярного рівня. У кінці вивчення приходить розуміння системи організму в цілому, а також усвідомлення того, яку роль відіграє в ньому займає кожна частина За допомогою подібного ієрархічного структурування студенти набувають всебічні знання про анатомію.

Аналогічним чином, коли ми вирішуємо складну проблему, ми можемо використовувати ієрархію як інструмент для обробки і сприйняття великих обсягів інформації. У міру проектування цієї структури у нас формується все більш повне розуміння проблеми.

Найпростіша ієрархія МАІ. Щоб уникнути безладу в діаграмах МАІ, зв’язку, що з’єднують Альтернативи та їх покривають Критерії, часто опускаються, або їх кількість штучно зменшується. Незважаючи на такі спрощення в діаграмі, в самій ієрархії кожна Альтернатива пов’язана з кожним з покривають її Критеріїв.

Ієрархічні структури, використовувані в МАІ, являє собою інструмент для якісного моделювання складних проблем. Вершиною ієрархії є головна мета; елементи нижнього рівня представляють безліч варіантів досягнення мети (альтернатив); елементи проміжних рівнів відповідають критеріям або факторів, які пов’язують мета з альтернативами. Загальний вигляд ієрархічної структури МАІ представлений на рисунку 1.

Рисунок 1 – Ієрархічна структура МАІ

Існують спеціальні терміни для опису ієрархічної структури МАІ. Кожен рівень складається з вузлів. Елементи, які виходять з вузла, прийнято називати його дітьми (дочірніми елементами). Елементи, з яких виходить вузол, називаються батьківськими. Групи елементів, що мають один і той же батьківський елемент, називаються групами порівняння. Батьківські елементи Альтернатив, як правило, виходять із різних груп порівняння, називаються покривають Критеріями. Використовуючи ці терміни для опису представленої нижче діаграми, можна сказати, що чотири Критерію – це діти Цілі; у свою чергу, Мета – це батьківський елемент для будь-якого з Критеріїв. Кожна Альтернатива – це дочірній елемент кожного з включають її Критеріїв. Всього на діаграмі присутня дві групи порівняння: група, що складається з чотирьох Критеріїв і група, що включає три Альтернативи. Вид будь-якої ієрархії МАІ буде залежати не тільки від об’єктивного характеру розглянутої проблеми, а й від знань, суджень, системи цінностей, думок, бажань і т.п. учасників процесу. Опубліковані опису застосувань МАІ часто включають в себе різні схеми і пояснення представлених ієрархій. Послідовне виконання всіх кроків МАІ передбачає можливість зміни структури ієрархії, з метою включення до неї знову з’явилися, або раніше не вважалися важливими, Критеріїв і Альтернатив.

Після побудови ієрархії учасники процесу використовують МАІ для визначення пріоритетів всіх вузлів структури. Інформація для розстановки пріоритетів збирається з усіх учасників і математично обробляється. У даному розділі наведено інформацію, на простому прикладі пояснює процес обчислення пріоритетів.

Визначення пріоритетів і пояснення. Пріоритети –це числа, які пов’язані з вузлами ієрархії. Вони являють собою відносні ваги елементів у кожній групі. Подібно ймовірностями, пріоритети – безрозмірні величини, які можуть приймати значення від нуля до одиниці. Чим більше величина пріоритету, тим більш значущим є відповідний йому елемент. Сума пріоритетів елементів, підлеглих одному елементу вище лежачого рівня ієрархії, дорівнює одиниці. Пріоритет мети за визначенням дорівнює 1.0. Розглянемо простий приклад, що пояснює методику обчислення пріоритетів.

На рисунку 2 показана ієрархія, в якій пріоритети всіх елементів не встановлювалися ОПР.

Рисунок 2 – Найпростіша ієрархічна структура МАІ з пріоритетами, визначеними за замовчуванням

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 118; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!