Сущность и основные положения аксонометрического проецирования.

Л Е К Ц И Я №16

16.1

15.8

15.7

15.6

15.5

15.4

15.2

Л Е К Ц И Я №15

15.1

14.8

14.7

14.6

14.5

14.4

14.3

Построив вторую сферу , мы, с ее помощью, получим уже две интересущие нас точки - D и Е.

Следует отметить, что данная задача, очень просто решаемая методом секущих сфер, трудно выполнима при ее решении методом секущих плоскостей. Трудность решения последним способом состоит в том, что в данной задаче не существует такого положения секущих плоскостей, при котором обе поверхности одновременно пересекались бы по простейшим кривым. Так, например, семейство горизонтальных секущих плоскостей, рассекая поверхность вращения по простейшим линиям - окружностям, будут пересекать конус по сложным кривым - гиперболам. Последнее обстоятельство создаст большие затруднения при решении задачи.

Задача 2. Построить линию пересечения кругового конуса со сферой.

Эта задача была решена на прошлой лекции методом вспомогательных секущих плоскостей. Для сравнения рассмотрим ее решение методом вспомогательных секущих сфер. Эта задача имеетодну особенность, которой не было в предыдущей задаче. Дело в том, что сфера имеет бесчисленное множество осей, вследствие чего за центр секущих сфер можно принять любую точку, принадлежащую оси конуса, т.к. через эту произвольную точку всегда можно провести новую ось сферы. В качестве такой произвольной

точки может быть выбрана и вершина конуса S.

Решение задачи ясно из чертежа. Это решение следует подробно пояснить слушателям.

После решения приведенных задач следует обратить внимание студентов, что при их решении мы использовали только о д н у плоскость проекций и именно ту, по отношению к которой оси поверхностей параллельны. Это обстоятельство является одной из особенностей метода вспомогательных секущих сфер.

При применении метода вспомогательных секущих плоскостей решение задач с использованием только одного поля проекций совершенно невозможно.

Если у нас возникнет необходимость построить вторую проекцию линии пересечения, это можно будет легко сделать обычным путем, т.е. исходя из условия принадлежности линии пересечения одной из данных нам поверхностей.

14.3. Область применения метода вспомогательных секущих сфер.

Метод вспомогательных секущих сфер, дающий в некоторых случаях значительно более простые решения_, чем метод вспомогательных секущих плоскостей, к сожалению, не столь универсален как последний метод и может быть применен в ограниченных случаях, при наличии определенных условий.

Метод вспомогательных секущих сфер применим только в тех случаях, когда

о д н о в р е м е н н о выполняются следующие три условия.

1. Обе поверхности должны быть поверхностями вращения, или одна -

поверхностью вращения, другая - не являясь поверхностью

вращения, должна содержать круговые сечения.

2. Оси поверхностей должны пересекаться.

3. Оси обеих поверхностей должны быть параллельны плоскости

чертежа.

В рассмотренных выше задачах эти три условия были в наличии.

14.4 Построение разверток поверхностей.

Развертывающимися поверхностями называются поверхности, которые путем изгибания, без разрывов и образования складок, могут быть совмещены с плоскостью. Естественно, что к группе развертывающихся поверхностей могут быть отнесены только линейчатые поверхности и, в частности, те из них, которые имеют пе-

ресекающиеся смежные образующие. Точка пересечения образующих может быть как собственной /коническая поверхность/, так и несобственной /цилиндрическая поверхнооть/.

Неразвертываемые поверхности, /например, сфера/ могут быть развернуты только приближенно. Задачи приближенного развертывания поверхностей мы рассматривать не будем. Рассмотрим построение разверток развертываемых поверхностей - цилиндра и конуса.

Развертка цилиндра.

При построении развертки данного прямого кругового цилиндра /рис.14.4/ окружность основания цилиндра следует разделить на равные части / в нашем примере их 12/. Длину хорды, соединяющей соседние точки, можно приближенно принять за длину дуги между теми же точками, к примеру, и.т.д. Преследуя большую точность построения,можно аналитически подсчитать длину окружности основания цилиндра и отложить ее на развертке, а затем полученный отрезок разделить на прежнее количество частей /0,1,2,..12/.

Длины соответсвующих образующих берутся с фронтальной про

екции цилиндра, где они проецируются в натуральную величину.

Если на поверхности цилиндра задана линия 1 /своей фронтальной проекцией- 1" /, то перенося на соотестствующие образующие точки А,В,С,...., принадлежащие этой линии, получаем положение линии 1 на развертке.

S. Строя последовательно один за другим натуральную величину треугольников /граней пирамиды/ и соединяя плавной линией точки 0,1,2,3,..., получаем развертку боковой поверхности конуса /рис.14.5б/.

Если на конусе нанесена линия l /задана своей фронтальной проекцией l” /, то перенося точки А,В,С,... этой кривой на натуральные величины соответствующих образующих, а затем откладывая их расстояния от вершны S, получаем линию 1 на развертке /рис.14.5б/. К примеру- .

Развертка прямого кругового конуса строится значительно проще. Его развертка представляет собой сектор окружности радиуса 1 /где 1-- длина образующей конуса/.

Такой конус и его развертка приведены на рис. 14.6.

Угол определяется следующим образом

Материал лекции изложен в учебнике С.А.Фролова /изд. 1978 г./ на страницах 139-147,190-192,195-197.

Тема лекции.

Прямые и плоскости, касательные к кривым поверхностям.

Содержание лекции.

Понятия и определения. Построение плоскостей, касательиых к поверхности. Взаимное касание поверхностей.

15.1 Понятия и определения.

Плоскостью, касательной к поверхности в некоторой её точке, называют плоскость, образованную прямыми, касательными к плоским кривым, принадлежащим поверхности и проходящим через ту же точку.

На рис. 15.1 показаны три плоские кривые m1,m2,m3, принадлежащие поверхности и проходящие через точку К. Прямые t1, t2, t3, это прямые, касательные соответственно к кривым m1, m2, m3 в

точке К. Все эти три прямые / t1,t2,t3 / будут лежать в одной плоскости. Эту плоскость, мы и будем называть касательной плоскостью к кривой поверхности в точке К. В точке К к поверхности можно провести сколь угодно много касательных прямых. Все они будут лежать в той же плоскости . Для построения касательной плоскости нет необходимости задавать большое количество касательных прямых, принадлежащих этой плоскости. Для этого, как известно, достаточно задать две прямые. В качестве двух касательных прямых, определяющих собой касательную плоскость, выбирают такие прямые, построение которнх является наиболее простым и удобным.

При построении касательных прямых к плоским кривым линиям

необходимо помнить, что кривая m и касательная к ней - прямая t должны быть

к о м п л а н а р н ы, т.е. должны принадлежать одной плоскости. Так, если все точки кривой m, принадлежат плоскости /рис. 15.2/, то прямая t,касающаяся кривой m в точке К также должна принадлежать плоскости .

Умение строить касательную плоскость к поверхности, позволяет решать задачи на построение нормалей к поверхности.

Нормалью к поверхности в данной точке называют прямую, перпендикулярную к касательной плоскости и проходящую через точку касания.

15.2 Построение плоскостей, касательных к поверхности.

Задачи на построение касательных плоскостей могут быть разделены на три группы.

1 - ая группа. Задачи на построение плоскости, касающейся поверхности в данной точке.

2 - ая группа. Задачи на построение касательной плоскости, проходящей через точку или прямую, расположенные вне поверхности.

3 - яя группа. Задачи на построеиие касательной плоскости по определенным геометрическим условиям

Рассмотрим эти группы задач в указанной последовательности.

1 – ая группа.

Задача. Постройть плоскость , касательную к поверхноети вращения в заданной точке К /рис.15.3/.

Решение

На поверхности через точку К проводим окружность m и в точке К строим прямую – t1, касательную к этой окружности. Прямая – t1 лежит в горизонтальной плоскости, т.е. в плоскости окружности m.

Вторую касательную, определяющую плоскость , строим как

прямую, касательную к образующей поверхности, проходящей через точку К. Эта образующая, представляя собой, часть дуги окружности, будет, однако, проецироваться на V дугой эллипса. Чтобы упростить, решение преобразуем чертеж. Для этого поверхность вместе с точкой К повернем вокруг оси поверхности до положения, при котором точка К окажется на очерке поверхности. Теперь через эту точку просто провести касательную прямую t21, фронтальная проекция которой строится как прямая, касательная в точке , к очерку поверхности. Прямая t21 пересечет ось поверхности в точке А. Осуществляя обратный поворот поверхности с точкой К до прежнего положения, получаем искомое положение касательной прямой t2.

Касательные прямые t1 и t2, как две пересекающиеся прямые, определяют собой касательную плоскость .

Задача. Дана фронтальная проекция прямой 1, касающейся конуса в точке К. Построить горизонтальную проекцию этой прямой /рис. 15.4/.

Решение

Задачу можно решить двумя способами.

Первый путь решения. Если через прямую l провести фронтально-проецирующую плоскость, то последняя рассечет конус по плоской кривой - эллипсу. Прямая l в точке К окажется касательной к этому эллипсу. Построив горизонтальную проекцию эллипса, мы сможем в точке К’ построить к этой проекции касательную прямую, которая и будет представлять собой искомую горизонтальную проекцию прямой l. Однако такой путь решения в данном случае не является рациональным и не может быть рекомендован из-за своей сложности и недостаточной точности решения.

Второй путь решения. Этот путь, показанный на рис. 15.4, по сравнению с первым, является более простым и более точным. Через точку К к конусу можно провести бесчисленное множество касательных прямых, одной из которых является заданная прямая 1. Все эти прямые лежат в одной - касательной плоскости. Легко построить такую плоскость, а затем потребовать, чтобы заданная прямая 1 лежала в этой плоскости.

Касательную плоскость задаем образующей m по которой

плоскость будет касатьея конуса, и прямой t, касающейся в точке А основания конуса. Горизонтальную проекцию прямой найдем из условия, что прямая 1 доджна пересекать прямую t в точке В.

2 - ая группа.

Задача. Через заданную точку А провести плоскость , касательную к конусу /рис. 15.5/.

Решение

Любая плоскость, касательная к конусу будет касаться последнего по одной из его образующих. Каждая образующая проходит через вершину

конуса S. Следовательно, вершина конуса S всегда будет принадлежать любой касательной плоскости. Если точки А и S принадлежат касательной плоскости, то и прямая (АS) будет принадлежать этой плоскости и, следовательно, определять эту плоскость. Взяв на этой прямой точку Т, лежащую в плоскости основания конуса, проводим через нее прямые t1 и t2, касающиеся основания конуса. Как видим, задача имеет два решения. Одной из касательных плоскостей будет плоскость

второй -

Для успешного решения других подобннх задач полезно запомнить следующее правило.

Если прямая проходит через вершину конуса и эта прямая не лежит внутри конической поверхности, то через эту прямую всегда можно провести к конусу касательную плоскость.

3 - яя грутша.

Задача. Построить плоскость , касательную к сфере и параллельную заданной плоскости /рис. 15.6/.

Решение.

Задача значительно упростится, если чертеж преобразовать так, чтобы плоскость стала проецирующей. На новой плоскости V₁ мы легко находим положение касательных плоскостей и , и точек касания и . Как видим, задача имеет два решения. На рис. 15.6 приведино лишь одно из них - плоскоть . Имея точку , последовательно находим положение

точек .

Примечание.

Радиус сферы, проведенный из ее центра в точку касания - К, перпендикулярен к плоскости , т.е. . Обратить внинание слушателей, что по этой причине проверкой правильности решения задачи может служить обязательное выполнение условия

15.3 Взаимное касание поверхностей.

Если две поверхности в некоторой точке касаются друг друга, то в этой точке они имеют общую касательную плоскость и общую нормаль.

В качестве примеров, иллюстрирующих это положение, на рис. 15.7 приведены фронтальные проекции касающихся сфер /рие. 15.7а/ и касающихся эллипсоидов /рис. 17^76/.

Если в первом случае общая нормаль к сферам в точке их касания - К проходит через центры этих поверхностей, то во втором случае это условие не соблюдается и общая нормаль к эллипсоидам в точке их касания может быть построена только как перпендикуляр к их общей касательной плоскости.

В качестве примера взаимного касания поверхностей решим следующую задачу.

Задача.

Дана фронтальная проекция сферы, касающейся поверхности вращения. Построить горизонтальную проекцию сферы и указать точку касания поверхностей /рис. 15.8/

Положение касающейся сферы относительно поверхности врания несложно определить в том случае, если центр сферы и ось поверхности вращения будут лежать в плоскости, параллельной плоскости проекций V. В этом случае фронтальные очерки поверхностей будут касаться друг друга, а точка их соприкосновения будет искомой точкой касания.

Вращая сферу вокруг оси поверхности вращения, находим указанное положеше сферы, ее центр О1, и точку касашя К1.

Затем производим обратный поворот сферы до ее начального положения, и находим искомую горизонтальнуго проекцию сферы и точку касания К.

Примечание. В качестве проверки правильности решения задачи может быть рассмотрена принадлежность точки касания К прямой (0В) в повернутом и начальном положениях.

Обратить внимание, что пряиая (0В) после обратного поворота должна пересечь ось поверхности вращения в той же точке С.

Материал лекции № 15 изложен в учебнике С.А.Фролова /изд. 1978 г./ на стр. 176 - 181.

Тема лекции

Аксонометрические проекции / Аксонометрия /.

Содержание лекции

Сущность и основные положения аксонометрического проецирования. Прямоугольная изометрия. Прямоугольная диметрия, Построение очерков поверхностей в аксонометрии.

Рассмотренные намивыше комплексные ортогональные проекции имеют то преимущество, что у них два измерения, параллельные соответствующей плоскости проекций, проецируются на эту плоскость без искажения, а третье измерение, перпендикулярное к ней, исчезает. Благодаря этому свойству комплексный чертеж строится достаточно просто и по нему легко определить размеры предмета и решить другие геометрические задачи. Однако такие изображения не имеют нужной наглядности, так как пространственный вид предмета условно заменяется комплексом ортогональных проекций, вследствии чего необходимо иметь достаточный навык, чтобы по этим проекциям представить истинную форму предмета.

По сравнению с комплексными, аксонометрические проекции имеют существенное преимущество – н а г л я д н о с т ь.

Слово " аксонометрия " означает " измерение по осям ".

Сущность аксонометрического проецирования заключается в том, что предмет относят к системе координатных осей и проецируют его вместе с координатными осями на произвольно выбранную плоскость, называемую плоскостью аксонометрических проекций.

На рис. 16.1 показано аксонометрическое изображение точки А. Точка А отнесена к некоторой системе координат ОХУZ, и вместе с ней спроецирована на плоскость . На плоскости получают оси , 0₀У₀, 0₀Z₀, являющиеся изображением координатных осей, и точку А° - аксонометрическое изображение точки А.

Плоскость, на которой строится ансонометрическая про-

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 74; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!