С е к у щ и е с ф е р ы. 1 страница

14.2

Л Е К Ц И Я №14

14.1

13.9

13.8

13.7

13.6

13.5

13.4

13.3

13.2

Л Е К Ц И Я № 13

13.1

12.6

12.5

12.4

12. 3

12.2

Л Е К Ц И Я № 12

12.1

11.7

11.6

11.5

11.4

11.3

10.13

10.12

10.11

10.10

10.9

10.8

10.7

10.6

10.5

10.4

10.3

10.2

Р А З Д Е Л №4

10.1

9.7

9.5

9.4

9.3

9.2

ЛЕКЦИЯ №9

9.1

Решение

8.6

8.5

Преобразуя заданные плоскости в проецирущие, опрвделяем натуральную величину расстояния между ними.

Задача

Дано: треугольник АВС и фронтальная проекция треугольника DEF, плоскость которого параллельна плоскости треугольника АВС. Построить горизонтальную проекцию треугольника DEF, если известно расстояние между плоскостями треугольников, равное отрезку l.

Также, как и в предыдущей задаче, для того, чтобы видеть натуральную величину расстояния между плоскостями треугольников, их плоскости превращаем в проецирующие. Как видим, задача имеет два решения. Для ясности чертежа следует показать только одно из этих решений. Получив новую фронтальную проекцию треугольника DEF на плоскости V1, находим горизонтальные проекции его вершин, как точки пересечения соответствующих линий связи.

Содержание лекции №8 изложено в учебнике С.А.Фролова /изд. 1978 г./ на стр. 183 - 189.

Тема лекции.

Определение действительной /натуральной/ величины углов.

Содержание лекции.

Определение угла между прямыми. Определение угла между прямой и плоскостью. Определение угла между плоскостями.

9. Определение действительной величины углов.

Должны быть рассмотрены следующие три задачи.

I. Определение угла между двумя пересекащимися прямыми.

2. Определение угла между прямой и плоскостью.

З. Определение угла между двумя плоскостями.

9.1. Определение натуральной величины угла между двумя пересекающимися прямыми.

Для того, чтобы угол между прямыми спроецировался в натуральную величину необходимо, чтобы обе стороны этого угла были параллельны данной плоскости проекций, т.е. чтобы плоскость угла была плоскостью уровня.

При решении этой задачи наиболее рациональным, а поэтому, наиболее распространенным путем решения,является преобразование чертежа способом вращения плоскости вокруг одной из ее прямых уровня /см. лекцию №6/. При итом способе плоскость общего положения сразу преобразуется в плоскость уровня.

Задача

Определить истинное значениве угла между пересекающимися прямыми m и n. /рис. 9.1/.

Решение

Н, находим его натуральную величину и, следовательно, натуральную величину искомого угла при вершине К – угла

9.2 Определение натуральной величины угла между прямой и плоскостью.

Угол между прямой и плоскостью можно определить двумя различными путями.

1. Путем определения непосредственно самого угла.

2. Путем определения дополнительного угла.

На примере решения двух следующих задач, познакомимся с тем и другим путем решения. При решении первой задачи отыщем непосредственно угол - угол между прямой и плоскостью.

Задача I.

Определить угол между прямой ВD и плоскостью треугольника АВС /рис. 9.2/.

Угол между прямой и плоскостью спроецируется в натуральную величину на одну из плоскостей проекций в том случае, если заданная плоскость будет по к этой плоскости проек -

ций проецирущей, а прямая - прямой уровня, т.е будет параллельной этой плоскости проекций.

Преобразуя чертеж с целью достижения такого расположения плоскости и прямой, следует следить за тем, чтобы в результате такого преобразования не произошло относительного перемещения прямой и плоскости, при котором искомый угол изменит свою величину.

Решение

Вводим новую плоскость проекций V1, по отношению к которой плоскость треугольника АВС будет проецирующей. Однако, угол между прямой ВD и плоскостью треугольника не будет проецироваться на V1, в натуральную величину, т.к. прямая ВD не будет параллельна плоскости V1. Введем еще новую плоскость проекций Н₁, параллельную плоскости треугольника. В системе плоскостей проекций плоскость треугольника стала горизонтальной плоскостью.

Теперь мы можем повернуть прямую ВD вокруг оси, перпендикулярной к Н₁ до положения, при котором она станет параллельной плоскости V1. Поскольку ось вращения, перпендикулярная к Н₁, будет, одновременно, перпендикулярна к плоскости треугольника, то при таком вращении прямой, ее угол наклона к плоскости треугольника не будет менять свою величину.

Повернув прямуго ВD до положения, параллельное V1, мы добились того, что угол между прямой ВD и плоскостью треутольника АВС спроецируется на эту плоскость проекций в натуральную величину.

К решению задачи на определение угла между прямой и плоскостью можно подойти с иных позиций. Из рис. 9.3 мы видим, что если прямая 1 образует с плоскостью угол , то та же прямая 1 с перпендикуляром к этой плоскости - прямой n образует угол .

Поскольку треугольник АВС прямоугольный, то сумма углов и равна прямому углу, т.е .

Эта простая зависимость позволяет нам, в некоторых задачах на отыскание угла между прямой и плоскостью, отыскивать не сам угол , а дополнительный угол .

Рассмотрям такую эадачу.

Задача 2

Определить натуральную величину угла между прямой l и плоскостью заданной следами /рис. 9.4

Решение

Взяв на пряной 1 произвольную точку А, опускаем из этой точки перпендикуляр на плоскость - прямую n. Угол между прямыми 1 и n и будет искомым углом . Проводим в плоскости этого угла произвольную горизонталь 1-2. Затем, вращая треугольник 1А2 вокруг стороны 1-2, находим /как в задаче 9.1/ его натуральную величину, а с ней и натуральную величину угла . Угол, дополняющий угол до 90, и будет углом , который нам требуется определить по услдвию задачи.

Последний путь решения можно применять не только в тех случаях, когда плоскость задана следами. В общем случае, в плоскости, как бы она не была задана, всегда можно провести горизонталь и фронталь. Наличие этих прямых: позволит нам ле-

гко провести перпендикуляр к этой плоскости, а затем, как в настоящем примере, определить угол , а затем, и угол .

9.3 Определение натуральной величины угла между плоскостями.

Эта задача, как и предыдущая, может быть решена двумя путями.

1. Путем определения непосредственно самого угла.

2. Путем определения дополнительного угла. Вначале рассмотрим первый путь решения.

Двугранный угол между плоскостями и /рис.9.5/ будет проецироваться на одну из плоскостей проекций в натуральвую величину в том случае, если линия пересечения этих плоскостей - прямая m будет перпендикулярна к этой плоскости проекций.

преобразовать так, чтобы прямая m стала проецирующей /2-ая основная задача на преобразование чертежа/.

Задача I

Определить натуральную величину угла между треугольниками АМN и ВМN /рис. 9.6/.

Решение

В данной задаче нет необходимости отыскивать линию пересечения плоскостей, т.к. такая линия на чертеже уже есть - ею является общая сторона треугольников - прямая МN. Преобразуем чертеж способом замены плоскостей проекций. В новой системеплоскостей проекций - прямая МN становится горизонтально - проецирующей прямой, а плоскости треугольников - горизон тально-проецирущими плоскостями. Угол , который мы видим на плоскости Н, является мерой натуральной величины двугранного угла между заданными треугольниками.

9.6

Теперь рассмотрим второй путь решения задачи, при котором отыскивается не угол - угол между плоскостями, а угол -угол между перпендикулярами к этим плоскостям. Такой путь решения в некоторых случаях является более рациональным.

Из рис. 9.7 мы видим, что угол между перпендикудярами m и n, проведенными к плоскостям и через произвольную точку А, в сумме с искомым углом составляет . Т.е. можно сказать, что угол дополняет угол до . Отсюда становится очевидным, что, зная угол мы всегда сумеем легко определить и угол .

Рассмотрим этот путь решения на примере следующей задачи.

Задача 2

Определить натуральную величину угла между плоскостями и рис. 9.8/.

Решение

Из произвольно выбранной точки А проводим перпендикуляры к заданным плоскостям: m - к плоскости , n - к плоскости . В плоскости, заданной перпендикулярами, проводим произвольную горизонталь 1-2. Путем вращения вокрут этой горизонтали определяем натуральную величину треугольника 1А2, а с ней и натуральную величину угла . Дополняя этот угол до , находим натуральную величину искомого угла .

Содержание лекции № 9 изложено в учебнике С.А.Фролова

/изд. 1978г./ на стр. 162-163, 168-172.

Кривые поверхности/Лекции №10-15/.

Л Е К Ц И Я №10

Тема лекции

Поверхности

Содержание лекции

Задание поверхности. Определитель поверхности. Принадлежность точки поверхности. Очерк поверхности. Цилиндрическая поверхность. Коническая поверхность. Поверхность вращения. Поверхности второго порядка.

10.1 Задание поверхности.

В начертательной геометрии наибольшее распространение получил так называемый к и н е м а т и ч е с к и й с п о с о б задания поверхности. С позиций этого способа поверхность рассматривается как множество всех положений движущейся в пространетве по определенному закону линии. В качестве примера такого задания, рассмотрим задание цилиндрической и конической поверхностей.

Если прямая l перемещается в пространстве так, что при своем движении она все время пересекает кривую m, и остается параллельной заданному направлtинию S, то такая прямая опишет в пространстве цилиндрическую поверхность /рис. 10.1/.

Если прямую 1 заставить перемещаться так, чтобы она при своем движении всегда проходила через точку S и пересекала кривую m, то такая прямая опишет коническую поверхность /рис.10.2/.

В обоих случаях прямая l называется о б р а з у ю щ е й, а кривая m - н а п р а в л я ю щ е й данной поверхности.

10.2 Определитель поверхности.

При кинематическом способе задания поверхности последняя будет задана, если будет возможно в любой момент движения образующей знать ее положение и форму, а это, в свою очередь, позволит однозначно ответить на вопрос - принадлежит ли та или иная точка пространства данной поверхности или нет.

Кинематический способ задания поверхности подводит нас к понятию определителя поверхности.

Определителем поверхности будем называть совокупность независимых условий, однозначно задающих поверхность.

В число условий, входящих в состав определителя, должны быть включены:

а/ геометрические фигуры /точки, линии/, с помощью которых может быть образована данная поверхность,

б/ алгоритм формирования поверхности из геометрических фигур, т.е. закон перемещения геометрических фигур, включенных в состав определителя.

Чтобы отличить эти части определителя, условимся первую часть /геометрическую/ заключать в прямые, а вторую /алгоритмическую/ - в квадратные скобки.

Тогда определитель произвольной поверхности будет иметь следующую структурную форму:

где (Г) - геометрическая часть,

[А] - алгоритмическая часть.

В качестве примера запишем определители для цилиндрической и конической поверхностей, заданных на рис.10.1 и рис.10.2.

Для цилиндрической поверхности /рис 10.1 / определитель будет иметь вид:

Для конической поверхности /рис.10.2/:

10.3 Принадлежность точки поверхности.

Мы выше уже отметили, что поверхность может считаться заданной в том случае, если мы в состоянии однозначно ответить на вопрос - принадлежит ли заданная точка этой поверхности или нет. При определении принадлежности точки данной поверхности следует исходить из следующего правила.

Точка принадлежит поверхности в том случае, если она лежит иа

линии, принадлежащей этой поверхности.

Как видим, это правило ничем не отличается от правила, которым мыопределяли принадлежность точки плоскости /см. лекцию № 3/. Следует только иметь в виду, что на плоскости в качестве такой линии мы всегда проводили прямую. При определении принадлежности точки кривой поверхности в качестве линии следует брать, если это возможно, простейшую - прямую или окружность. Если прямую или окружность на поверхности провести нельзя, следует строить более сдожную линию.

Рассмотрим примеры. Пусть нам даны фронтальные проекции точек А, принадлежащих цилиндрической /рис.10.1/ и конической /рис.10.2/ поверхностям. Требуется отыскать ихгоризонтальные проекции.

Для того, чтобы отыскать горизонтальные проекции точек, мы, в том и другом случаях, через точку А”, в соответствии с требованием определителя, проводим фронтальную проекцию образующей - 1 ”, на которой должна лежать точка А. Эта образующая пересечет направляющую m в точке I. Зная I", находии I¹, через которую проводим горизонтальную проекцию образущей – l’. Зная положение образующей, находим горизонтальную проекцию точки – А’.

Построив точку А, принадлежащую поверхности, мы можем утверждать, что данная поверхность на чертеже задана.

Отметим, что точка В не принадлежит поверхности цилиндра /рис.10.1/, т.к. она не принадлежит образущей l2 этого цилиндра.

При рассмотрении последующих разделов настоящей лекции мы еще не раз остановимся на вопросе принадлежности точки поверхности.

10.4 Очерк поверхности.

Задание поверхности ее определителем не всегда обеспечивает наглядность чертежа, особенно необходимую при начальном изучении начертательной геометрии. Для обеспечения такой наглядности мы будем, как правило, задавать поверхность на чертеже ее очерком /очертанием/.

На рис 10.3а представлена круговая коническая поверхность, данная осью конуса I и образующей l, вращающейся вокруг прямой I. На рис.10.Зб та же поверхность задана своим очерком. Здесь коническая поверхность ограничена основанием конуса, заданного окружностью m. В обоих случаях точка А принадлежит поверхности конуса, т.к. она лежит на образующей l, принадлежащей поверхности конуса. Сравнивая эти два чертежа, видим, что с точки зрения наглядности изображения последний чертеж /рис.10.Зб/ имеет несомненные преимущества перед первым, хотя с точки зрения определенности задания поверхности оба чертежа равноценны, т.к. в обоих случаях мы можем построить любое положение образующей конуса и, следовательно, решать любые относящиеся к его поверхности задачи.

Полннй контур видимости конуса /рис.10.Зб/ наносят на эпюр лишь для наглядности, чтобы подчеркнуть, что за пределами этого контура нет точек, принадлежащих консу.

При этом следует помнить, что с точки зрения полноты иэображения, задание поверхности ее очерком является графически избыточным, т.е. в целях наглядности мывносим в эти изображения элементы, которые в геометрическом смысле являются из-

лишними.

Второе замечание: задание поверхности ее очерком удобно и целесообразно лишь в том случае, когда поверхность является замкнутой, а ее ось является прямой частного положения, лучше всего - проецирующей, т.е. прямой, перпендикулярной одной из плоскостей проекций.

+ +

+

Мир поверхностей чрезвычайно широк и многообразен. Классификация их сложна и громоздка. Классификация поверхностей достаточно подробно изложена в учебнике С.А.Фролова /стр.57-92/. На лекциях мы остановимся лишь на поверхностях, нашедших наиболее широкое применение в технике. Мы рассмотрим только следующие поверхности:

а/ цилиндрические,

б/ конические,

в/ вращения,

г/ второго порядка.

10.5 Цилиндрическая поверхность.

Образование цилиндрической поверхности мы уже рассмотрели. Цилиндрическая поверхность может быть неограниченно продолжена в обе стороны по направлению ее образующих. На практике при построении изображений мы имеемдело всегда с ограниченными отрезками цилиндрической поверхности. Часть цилиндрической поверхности, заключенная между двумя плоскими параллельными сечениями, называется, как известно из стереометрии, ц и л и н д р о м, а сами сечения - его о с н о в а н и я м и

Сечение цилиндрической поверхности плоскостью, перпендикулярной к его образующим, называется н о р м а л ь н ы м.

В зависимости от формы нормального сечения цилиндрические поверхности получают дополнительные, характеризующие их наименования. Если нормальным сечением является окружность, то цилиндр нааывают к р у г о в ы м. Только в круговой цилиндр можно вписать сферу. Поэтому, круговую цилиндрическую поверхность определяют еще как геометрическое место параллельных прямых, касательных к сфере.

Если нормальное сечение есть эллипс, цилиндр называют э л л и п т и ч е с к и м, если парабола - п а р а б о л и ч е с к и м, гипербола - г и п е р б о л и ч е с к и м.

Если нормальное сечение - геометрически неопределенная кривая, будем иметь цилиндр о б щ е г о в и д а.

Параболический и гиперболический цилиндры являются разомкнутыми, или открытыми, поверхностями.

Если за основание цилиндра принимается его нормальное сечение, цилиндр называют п р я м ы м, если за основание принято какое-либо косое сечение, то цилиндр называют н а к л о н н ы м.

Цилиндрическая поверхность, как и плоскость, может быть

п р о е ц и р у ю щ е й.

На рис.10.4а показана горизонтально-проецирующая цилиндрическая поверхность общего вида , образующие которой перпендикулярны к горизонтальной плоскости проекций Н.

На рис.10.4б показано принятое изображение такой цилиндрической поверхности на комплексном чертеже.

На рис.10.5 изображен эллиптический цилиндр, за основания которого приняты наклонные сечения, представляющие собой окружности. Такой цилиндр иногда неправильно называют наклонным круговым цилиндром.

Этот цилиндр не может быть круговым, т.к. в него нельзя вписатъ сферу.

Решим еще раз задачу на принадлежность точки поверхности. Пусть нам опять дана фронтальная проекция точки А, принадлежащей поверхности данного эллиптического цилиндра. Требуется

найти горизонтальную проекцию точки А.

Решить данную задачу /рис.10.5/ можно двумя путями.

1. Исходя из условия, что точка А лежит на принадлежащей цилиндру образующей 1, которая пересекает основание цилиндра в точкв I.

2. Исходя из условия, что точка А лежит на принадлежащей цилиидру окружности m, центр которой лежит на оси цилиндра. Оба решения, естественно, дадут нам одно и то же положение горизонтальной проекции точки А.

10.6 Коническая поверхность.

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 48; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!