С е к у щ и е с ф е р ы. 3 страница

Этот метод нам уже знаком. Мы использовали его при решении задачи на отыскание линии пересечения двух заданных плоскостей /см. лекцию №4/. Зная, что линией пересечения, двух плоскостей является прямая, для ее отыскания нам было достаточно узнать положение двух ее точек. Пересекая заданные плоскости вспомогательной плоскостью-посредником, мы находили две прямые, по которым вспомогательная плоскость пересекала заданные плоскости. Точка пересечения этих прямых давала нам точку, принадлежащую одновременно двум заданным плоскостям, т.е.

точку, принадлежащую их линии пересечения. Вторая вспомогательная секущая плоскость, таким же образом, давала вторую точку искомой прямой.

Аналогичная идея лежит в основе решения рассматриваемой задачи на отыскание линии пересечения двух кривых поверхностей. Пересекая, обе поверхности плоскоетью-посредником мы найдем, линии пересечения этой плоскости с той и другой поверхностью. Поскольку эти линии лежат в одной плоскости, они будут пересекаться между собой, и точки их пересечения будут общими точками для обеих поверхностей, т.е. точками ихлинии пересечения.

Линией пересечения двух кривых поверхностей, в общем случае, является пространственная кривая. Для построения этой кривой потребуется уже не две, а значительно большее количество точек. Для отыскания этих точек необходимо будет провести не две, а несколько секущих плоскостей.

Выбор той или другой вспомогательной плоскости производится с таким расчетом, чтобы в пересечении ее с каждой из данных поверхностей получались простые и удобные для вычеркивания линии-прямые, либо окружности.

13.3 Пересечение поверхности с плоскостью общего положения.

В качестве примера рассмотрим задачу на построение линии пересечения поверхности вращения с плоскостью общего положения. Эта задача, по сравнению с задачей общего вида, будет более простой, т.к. одна из заданных поверхностей является простейшей плоскостью.

Задача.

Построить линию пересечения поверхности вращения с плоскостью общего положения . /рис. 13.1/.

Решение

В данной задаче плоскостью-посредником, дающей наиболее простое решение, будет горизонтальная плоскость. Она будет пересекать наши поверхности по простейшим линиям: поверхность по окружности, а плоскость - по прямой /по горизонтали/. В качестве первой такой плоскости возьмем плоскость проекций Н, которая пересечет поверхность по окружности. Основания m, а плоскость - по ее горизонтальному следу . Пересечение этих линий, лежащих в одной плоскости, дают нам искомые

точки А и В - точки, принадлежащие линии пересечения поверхностей. Прибегая к помощи других горизонтальных секущих плоскостей, будем с их помощью таким же образом получать точки, принадлежащие линии пересечения поверхностей.

Чтобы не загружать чертеж обилеем линий, из этого семейства плоскостей, в качестве примера, возьмем только одну плоскость . Эта плоскость пересечет поверхность по окружности m1, а плоскость - по горизонтали . Пересечение этих линий дает нам искомые точки С и D.

Для определеняя точки Е, в которой кривая сечения на фронтальной проекции из видимой переходит в невидимую / а эта точка всегда лежит на главном меридиане поверхности/, рассечем наши поверхности фронтальной плоскостью . Эта плоскость пе-

ресечет поверхность по главному меридиану, а плоскость - по фронтали . Пересечение этих линий дает нам точку Е.

Чтобы получить верхнюю точку сечения - точку F, преобразуем чертеж. Введем новую плоскость проекций V1, по отношению к которой плоскость становится проецирующей. На плоскости v1 мы сразу видим верхнюю точку сечения - . Зная эту точку, последовательно находим точки F’ и F”.

Примечание

Данную задачу мы могли решить и иным путем. Построив, новую фронтальную плоскость проекций V1 как показано, на рис. 13.1, мы можем в системе плоскостей проекций решить задачу на пересечение поверхности с проецирующей плоскостью . Эта задача более проста, чем задача на пересечение поверхности с плоскостью общего положения. Задачу на построение линии пересечения поверхности с проецирующей плоскостью мыподробно рассмотрели на лекции №11.

Решив эту задачу, т.е. найдя проекции линии пересечения на V1 и H, мы получаем возможность перенести найденные точки, определяющие линию пересечения, на фронтальную плоскость проекций V.

13.4. Взаимное пересечение поверхностей.

Принцип решения подобных задач рассмотрим на примере решения следующей задачи.

Задача.

Построить линию пересечения конуса со сферой /см. рис.

13.2/.

Решение.

При решении данной задачи, как и в предыдущей, целесообразно пользоваться горизонтальными секущими плоскостями, т.к. такие плоскости будут обе заданные поверхности пересекать по простейшим линиям - окружностям. Эти окружности будут без искажения проецироваться на плоскость Н.

Пересечем наши поверхности вспомогательной горизонтальной плоскостью , проходящей через центр сферы. Эта плоскость пересечет сферу по экватору , горизонтальная проекция которого на чертеже уже имеется, а конус эта плоскость пересечет по окружности Пересечение этих окружностей даст нам точки К₁ и K11

Затем пересечем поверхности плоскостями и ,отстоящими от плоскости на одинаковом расстоянии. Эти плоскости пересекут конус по окружностям m2 и m₃, а сферу - по окружностям одинакового диаметра n2 и n3. Пересечение соответствующих окружностей, лежащих в одной и той же плоскости, даст нам, соответственно, точки К₂,К₂₁ и К₃, К31.

Верхнюю и нижнюю точки линии пересечения мы получим с помощью фронтальной секущей плоскости . Эта плоскость пересечет наши поверхности по их главным меридианам и пересечение этих линий даст нам точки К4 и К41.

13.5. Особенности пересечення поверхностей второго порядка.

Известно, что порядок линии пересечения поверхностей равен произведению порядков поверхностей. Поэтому две поверхности второго порядка всегда пересекаются по кривой четвертого порядка. При определённых условиях эта кривая распадается на несколько линий более низкого порядка. При этом сумма порядков линий, на которые распадается кривая, равна порядку самой линии. В частности, кривая четвертого порядка может распадаться на четыре прямых или две кривых второго порядка.

Условия, при которых кривая четвертого порядка распадается на две кривые второго порядка, могут быть сформулированы следующими теоремами.

Теорема I. Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности второго порядка или вписаны в нее, то линия ихпересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания.

В учебной литературе эта теорема известна так же, как «теорема Монжа».

Рис. 13.3 дает представление о том, как можно определить линии пересечения конуса и цилиндра , описанных около сферы . Конус соприкасается со сферой по окружности, фронтальная проекция которой есть отрезок [1^”2"], а с цилиндром по окружности, проецирующейся в [3”4”]. Точки пересечения этих окружностей есть точки А и В.

По теореме, плоскости кривых должны проходить через прямую (АВ), а т.к, эта прямая являетея фронтально-проецирущей, то плоскости кривых также будут фронтально-проецирующими. Одна кривая /эллипс/ будет проецироваться отрезком

[C”D”] другая /также эллипс/ будет проецироваться отрезвом [Е”F”]

Теорема 2. Если две поверхности второго порядка имеют касание в двух точках, то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки

касания.

На рис. 13.4 показано пересечение двух поверхностей второго порядка: эллиптического конуса и сферы. Поверхности и имеют две общие касательные плоскости и и соответственно две общие точки касания А и В. Поэтому по теореме 2 линия пересечения поверхностей распадется на две кривые второго порядка, расположенные в плоскостях и . Эти плоскости проходят через прямую АВ. Так как прямая АВ перпендикулярна плоскости проекций W, то плоскости и будут профильно-проецрущими. Следовательно, принадлежащие им кривые, на плоскость W проецируются в отрезки [C”’D”’] и [E”’F”’]

Следует отметить, что эти кривые будут окружностями, т.к. на сферу нельзя нанести другие плоские кривые.

Последнее обстоятельство позволяет использовать теорему 2 для решения общей задачи на определение положения плоскостей, пересекающих заданные эллиптические поверхности второго порядка по окружностям. Для этого, как и в настоящей задаче, надо в качестве второй поверхности использовать сферу, имеющую с первой поверхностью две точки соприкосновения. Тогда линиями пересечения этих поверхностей будут две окружности, положение которых и определит положение искомых плоскостей. Плоскости, параллельные найденным, будут пересекать заданную

поверхность также по окружностям, т.к. известно, что параллельные плоскости пересекают поверхности второго порядка по подобным кривым. Так в нашей задаче любая плоскость, параллельная плоскости или плоскости , будет пересекать эллиптический конус по окружности.

На рис. 13.5 приведен пример, поясняющий суть теоремы 3. Возьмем окружность m, плоскость которой параллельна плоскости проекций Н. Фронтальная проекция этой окружности, есть отрезок A”B”. Взяв эту окружность в качестве направляющей, опишем наклонный цилиндр и конус с произвольной вершиной S. И цилиндр, и конус будут эллиптическими.

Очевидно, что окружность m будет одной изкривой пересечения наших поверхностей. В соответствии с теоремой 3 наши поверхности должны пересечься еще по одной плоской кривой. Такой кривой будет эллипс, фронтальная проекция которого будет C”D”.

Примечание.

Если изложение п.п. 13.3 и 13.4 отнимет много времени, то материал п. 13.5 может быть изложен частично. В этом случае следует лишь пояснить теорему I /теорему Монжа/, а теоремы 2

и 3 можно опустить.

Материал лекции №13 изложен в учебнике С.А.Фролова /изд. 1978 г./ на стр. 116-118, 124-127, 131-132, 145-147.

Тема лекции.

Взаимное пересечение поверхностей. Построение линии пересечения поверхностей методом вспомогательных секущих сфер. Построение разверток.

Содержание лекции.

Пересечение двух соосных поверхностей вращения. Построение линии пересечения двух поверхностей вращения, оси которых пересекаются. Область применения метода вспомогательных секущих сфер. Построение разверток поверхностей цилиндра и конуса.

14.1. Построение двух соосных поверхностей вращения.

Соосными называются поверхности, имеющие общую ось вращения. Две соосные поверхности вращения пересекаются между собой по окружности, плоскость которой перпендикулярна оси поверхности. Если общая ось поверхностей параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость проекций окружность будет проецироваться прямой линией /рис. 14.1а/. Если одной из этих поверхностей будет сфера и её центр будет принадлежать оси другой поверхности, то сфера пересечется с этой поверхностью тоже по окружностям, проекции которых, при наличии вышеупомянутых условий, будут представлять собой, как и в первом сдучае, прямые линии.

Используя это свойство, можно в некоторых задачах на построение линии пересечения поверхностей вместо вспомогательных секущих плоскостей использовать в с п о м о г а т е л ь н ы е

14.2. Построение линии пересечения двух поверхностей вращения.

Рассмотрим применение метода вспомогательных секущих сфер на следующих задачах.

Задача I.

Построить линию пересечения двух поверхностей вращения

/рис. 14.2/.

Для того чтобы секущая сфера пересекла каждую поверхность по окружности необходимо, чтобы центр сферы лежал на оси каждой поверхности. Это условие будет выполнено в том случае, если центр сферы будет совпадать с точкой пересечения осей.

Сферой минимального радиуса окажется сфера, касательная к поверхности вращения, имеющей вертикальную ось. Эта сфера коснется поверхности по окружности /1,2/, а вторую поверхность - конус, пересечет по окружности /3,4/. Если провести сферу меньшего диаметра, то она, пересекаясь с конусом, уже не будет пересекаться с поверхностью вращения и, следовательно, с ее помощью мы не получим решения.

Пресечение окружностей /1,2/ и /3,4/ даст нам точку С, принадлежащей искомой линии пересечения наших поверхностей.

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 54; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!