С е к у щ и е с ф е р ы. 2 страница

кой поверхности такой плоскостью может быть принято за

о сн о в а н и е конуса. Понятие о нормальном сечении в том виде, как мыустановили его для цилиндрических поверхностей, неприменимо к коническим поверхностям, так как невозможно пересечь коническую поверхность перпендикулярно ко всем ее образующим.

Условимся называть н о р м а л ь н ы м с е ч е н и е м

конической поверхности сечение, перпендикулярное к оси поверхности. Осью же конической поверхности будем называть линию пересечения ее плоскостей симметрии. Отсюда следует, что не все конические поверхности имеют ось, а только такие, у которых есть, по крайней мере две плоскости симметрии. На рис.10.7 приведен конус, не имеющий плоскостей симметрии и, следовательно, оси. К таким коническим поверхностям, не имеющих оси, понятие о нормальном сечении неприменимо и их назывют коническими поверхностями общего вида. Точку А, принадлежащую такому конусу, можно построить из условия ее принадлежности образующей конуса

Конические поверхности, имеющие ось, следует именовать сообразно виду нормального сечения. Если норнальное сечение коничеокой поверхности – окружность, она называется к р у г о в о й. Если принять это нормальное сечение за основание конуса, получим

п р я м о й к р у г о в о й к о н у с, у которого высота совпадает с осью и пр©ходит через центр осно-

вания /см. рис10.Зб/.

Если же за основание принять какое-либо иное сечение круговой конической поверхности, мы будем иметь наклонный круговой конус. В последнем случае /рис10.8/ основание его не может иметь форму окружности /оно будет эллипсом/, и ось конуса не будет проходить через центр основания.

В круговой конус, как прямой, так и наклонный, всегда можно вписать сферу /рис.10.8/, и наоборот, конус, описанный вокруг сферы, является круговым. Поэтому круговую коническую поверхность можно еще определить как геометрическое место касательных к сфере, исходящих из одной точки.

10.7 Поверхности вращения.

Поверхностью вращения общего вида называют поверхность, которая образуется произвольной кривой /плоской или пространственной/ при ее вращении вокруг неподвижной оси.

В состав определителя поверхности вращения входит образующая а, ооь вращения i, и условие [А] о том, что эта образующая вращается векруг оси i /^рис. 10.9/.

Каждая точка образующей - А,В,С,D /см.рис10.9/ при вращении вокруг оси i описывает окружность с центром на оси вращения. Эти окружности называют п а р а л л е л я м и.

Наибольшую и наименьшую параллели называют соответственно э к в а т о р о м и г о р л о м /шейкой/.

Плоскости, проходящие через ось поверхности вращения, назывют

м е р и д и о н а л ь н ы м и, а линии, по которым они пересекают поверхность -

м е р и д и а н а м и.

Меридиональную плоскость, параллельную плоскости проекций, принято называть

г л а в н о й м е р и д и о н а л ь н о й п л о с к о с т ь ю, а линию ее пересечения с

поверхностью вращения - г л а в н ы м м е р и д и а н о м.

Возьмем в качестве образующей окружность. В зависимости от взаимного расположения окружности и оси вращения можно получить различные поверхности.

Если окружность m вращать вокруг оси i, принадлежащей плоскости этой окружности и не проходящей через ее центр, мы получим поверхность, называемую т о р о м /рис10.10/.

В зависимости от взаимного расположения окружности и оси вращения поверхность тора подразделяют на:

о т к р ы т ы й тор /или кольцо/ - окружность не пересекает ось вращения /рис10.10а/,

з а к р ы т ы й тор- окружность первсекает ось вращения или касается ее /рис10.10б/

Точка А, принадлежащая поверхности тора, строится как точ-

ка, принадлежащая параллели этой поверхности.

Если окружность m вращается вокруг оси l, проходящей через центр этой окружности, то окружность m опишет в пространстве хорошо нам известную поверхность, называвмую с ф е р о й. /см.рис. 10.11/.

Построение точки А, принадлежащей сфере, следует выполнять как построение точки, принадлежащей окружности этой сферы /см.рис10.11/;

Следует специально оговорить,что принадлежность точки любой

произвольной поверхности вращения следует всегда определять как принадлежностъ точки параллели /окружности/ этой поверхности /см.рис. 10.9 - 10.11/.

10.8 Поверхности второго порядка.

Поверхностью n -ого порядка называют поверхность, уравнение которой есть алгебраическое уравнение степени n.

Плоскость, как известно, выражается уравнением первой степени, поэтому ее называют поверхностью первого порядка.

Поверхностью второго порядка мы будем называть поверхность, уравнение которой представляет собой уравнение 2-ой степени.

В начертательной геометрии мыне задаем поверхности их уравнениями. Этим занимается аналитическая геометрия.

Порядок поверхности в начертательной геометрии определяется максимальным количеством точек /действительных или мнимых/.

Порядок поверхности можно определить, руководствуясь следующим правилом.

Плоскость пересекает поверхность n -ого порядка по кривой

того же n -го порядка.

Приведем примеры этого положения. Мы уже отмечали, что плоскость является поверхностью первого порядка. Мы знаем, что плоскость пересекает другую плоскость по прямой, т.е. по линии первого порядка. Любая плоскость пересечет сферу по окружности. Сфера есть одна из поверхностей второго порядка, ее сечение - окружность есть плоская кривая второго порядка.

Если эллипс, параболу, гиперболу, т.е. известные нам кривые 2-го порядка, вращать вокруг их осей, мыполучим круговые поверхности 2-ого порядка, которые будут соответственно называться эллипсоидом, параболоидом, гиперболоидом.

Гиперболу, кривую, состоящую из двух ветвей /рис10.12а/, мы можем вращать, как вокруг ее действительной - m, так и вокруг ее мнимой оси – m1. В первом случае мы получим двуполостной гиперболоид /рис.10.12б/, во втором - однополостный гиперболоид /рис.10.12в/.

Если поверхности вращения второго порядка подвергнуть рав-номерному сжатию или растяжению, в направлении, перпендикулярном оси поверхности, эти поверхности, из круговых, превратятся в эллиптические. Эллипсоид вращения превратится в трехосный эллипсоид, а параболоид и гиперболоид вращения преобразуются, соответственно, в эллиптический параболоид и эллиптический гиперболоид.

Перечислим все возможные поверхности 2-го порядка. Ими являются только следующие поверхности:

1 / цилиндры /круговой, эллиптический, параболический, гипэрболический/,

2 / конусн /круговой, эллептический/,

3/ эллипсоиды /вращения, трехосный/, сферу можно рассматривать как частный случай эллипсоида, все осм ко-

торого равны,

4 / параболоиды /вращения, эдлиптический и гиперболический/,

5 / однополостные гиперболоиды /вращешя и эллиптический/,

6 / двуполостные гиперболоиды /вращения и эллиптический/.

За исключением трех поверхностей: гиперболического и параболического цилиндров и гиперболического параболоида, все остальные могут пересекаться плоскостью по окружности. Таким образом, на всех поверхностях второго порядка, кроме трех указанных, можно расположить бесчисленное множество окружностей.

Материал лекции /не полностюо/ изложен в учебнике С.А.Фролова /изд.1978 г./ на стр. 51-57, 86-90.

На рис. 11.2 приведен пример сечения поверхности вращения горизонтально-проецирующей плоскостью . В этом случае уже горизонтальная проекция сечения будет представлять собой прямую линию, совпадающей с горизонтальным следом плоскости . Зная, что эта линия принадлежит поверхности, можно легко построить ее фронтальную проекцию. Построение начинаем с точек 1 и 2, принадлежащих окружности основания. Построение точзк 3, 4 является типичным для построения промежуточных точек. Построение точки 5 иллюстрирует определение верхней точки сечения. Точка 6 - точка сечения, принадлежащая главному меридиану, в которой на фронтальной проекции кривая фигуры сечения из видимой переходит в невидимую.

Отметить, что переход видимой ветви кривой сечения в невидимую, всегда происходит в точке, лежащей на очерке поверхности.

11.2 Конические сечения.

Круговой цилиндр можно рассечь по эллипсу и по прямым линиям. Эллипс получится в том случае, если секущая плоскость будет наклонной по отношению к оси цилиндра. Если же секущая плоскость будет, параплельна оси цилиндра она рассечет, последний по прямым линиям - его образующим.

Более разнообразны сечения кругового конуса. Прежде всего, надо отметить тот единственный случай, когда конус пересекается плоскостью по двум прямым линиям - по образующим. Это иметь место лишь при условии, если секущая плоскость проходит через вершину конуса.

Если же секущая плоскость не проходит через вершину конуса, то в сечении получаются кривые линии, причем они могут быть только трех видов: эллипсы, параболы и гиперболы. Все эти кривые, как известно, являются кривыми второго порядка.

Э л л и п с получается в сечении конуса наклонной плоскостью, не параллельной ни одной из его образующих, т.е. пересекающей все образующие конуса /или их продолжения/,/рис. 11.3 а/.

П а р а б о л а получается в том случае, если секущая плоскость параллельна какой-либо о д н о й образующей /рис.11.Зб/,

Г и п е р б о л а получается при условии, если секущая плоскость параллельна д в у м образующим. В частности, это будет иметь место тогда, когда секущая плоскость параллельна оси конуса /рис.11.Зв/.

Ясно, что в обоих последних случаях кривая сечения должна быть разомкнутой, так как плоскость пересекает не все образующие

Подойдем к рассмотрению конических сечений несколько с иной стороны /рис.11.4/.

Если секущую фронтально-проецирующую плоскость провести через точку А, лежащую на оси конуса, а затем начать придавать ей новые положения,путем вращения около оси, проходящей через А и перпендикулярной плоскости V, то в каждом своем новом положении эта плоскость будет рассекать конус по той или иной кривой.

Из рис. 11.4 видно, что положения секущей плоскости, дающей в сечении параболы, являются граничными, отделяющими зону сечений по эллипсу от зоны сечений по гиперболе.

В том случае, когда секущая плоскость пройдет через вершину конуса, сечение по гиперболе распадется на две прямые, а в том случае, когда эта плоскость окажется перпендикулярной оси конуса, в сечении получится окружность.

11.3 Пересечение прямой с поверхностью. Алгоритм определения точек пересечения прямой с поверхностью.

Рассмотрим вначале общий случай. Под общим будем понимать случай, при котором прямая занимает общее положение, как относительно плоскостей проекций, так и относительно поверхности.

Алгоритм решения задачи на отыскание точек пересечения прямой с поверхностью по своей сути ничем не отличается от алгоритма решения задачи на отыскание точки пересечения прямой с плоскостью. Последний алгоритм был изложен на лекции №4.

Алгоритм задачи на пересечение прямой с поверхностью /рис.11.5/ состоит в следущем.

Для того, чтобы отыскать точки пересечения прямой с поверхностью необходимо:

1 /заключить прямую во вспомогательную секущую плоскость,

2 / построить фигуру сечения поверхности данной плоскостью,

3/ построить точки пересечения прямой с поверхностью, как точки пересечения прямой с найденой линией сечения,

4/ выделить видимые и невидимые участки прямой.

Настоящая задача является более сложной, чем задача на определение точки пересечения прямой с плоскостью. Это усложнение состоит в том, что если в первой задаче фигурой сечения была прямая, то в настоящей задаче фигурой сечения, как правило, будет кривая линия, построение которой будет более сложным делом, чем построение прямой. Но и фигура сечения может видоизменяться в зависимости от выбора положения секущей плоскости, проходящей через прямую. Ведь таких плоскостей можно провести сколь угодно много. Возникает дополнительная задача - так выбрать положение секущей плоскости, чтобы фигура сечения оказалась простейшей, что, в свою очередь, приведет к упрощению решения всей задачи.

На рис11.6а через прямую l проведена горизонтально-проецирующая плоскость /прямая 1 заключена в плоскость /. Линия сечения m строится так, как было показано на настоящей лекции /рис.11.2/. По этой причине нет необходимости строить эту кривую вновь, достаточно нанести ее приближенно.

Построив таким образом фигуру сечения m находим точки пересечения прямой 1 с поверхностью и устанавливаем видимость прямой.

На рис. 11.6бповторено решение той же задачи, но в этом случае прямая l заключается во фронтально-проецирующую плоскость 1. Построив сечение поверхности этой плоскостью - кривую m, также находим точки пересечения прямой с поверхностью точки К1 и К₂. Оба приведенные решения /рис.11.6а,б/ с точки зрения объема графической работы являются равноценными. Найти другое положение секущей плоскости, при котором получилось бы более простое решение, чем полученные, в данной задаче не удается.

Содержание лекции №11 изложено в учебнике С.А.Фролова на стр. 127-131, 152.

Тема лекции

Пересечение прямой с поверхностью.

Содержание лекции.

Пересечение прямой с цилиндрической и конической поверхностями. Пересечение прямой со сферой. Частные случаи пересечения прямой с поверхностьо вращения.

12.1 Пересечение прямой с цилиндрической поверхностью.

При решении задачи на отыскание точек пересечения прямой с поверхностью применение в качестве посредников

п р о е ц и р у ю щ и х плоскостей хотя и может привести к цели, но нередко дает крайне сложные в графическом отношении и неточные решения.

В некоторых задачах решение может быть значительно упрощено, если в качестве вспомогательной секущей плоскости брать не проецирующую, а соответсвующим образом выбранную плоскость общего положения. Этот прием применяется при решении рассматриваемых задач на пересечение прямой с цилиндрической и конической поверхностями.

Пусть требуется найти точки встречи прямой l с поверхностью эллиптического цилиндра /рис.12.1/. Какую, бы проецирующую плоскость мы не провели через прямую l, одна из проекций сечения будет эллипсом. Можно, конечно, построить этот эллипс и найти его пересечение с данной прямой, но такое решение нецелесообразно.

В подобных случаях выбор вспомогательной секущей плоскости, проводимой через данную прямую, производится с таким расчетом, чтобы получить в сечении п р о с т ы е и у д о б н ы е д л я

п о с т р о е н и я л и н и и, например прямые или окружности.

На рис. 12.1 а и б через прямую l проведена плоскость, параллельная образующим цилиндра. Ясно, что такая плоскость должна рассечь поверхность цилиндра по прямым линиям /по образующим/, построение которых не представляет труда. Чтобы провести эту плоскость на эпюре, возьмем на прямой l две произвольные точки А и В и проведем через них прямые m и n, параллельные образующим цилиндра. Две параллельные прямые m и n определяют

Прямая m пересечет плоскость Н в точке, mn а прямая n, в точке nn. Соединяя точки mn и nn получаем линию пересечения нашей плоскости с плоскостью Н, т.е. ее горизонтальный след. Эта прямая пересекает основание цилиндра, находящееся также в плоскости Н, в точках 1 и 2. Через эти точки и пройдут горизонтальные проекции образующих, по которым плоскость рассекает поверхность цилиндра. В пересечении их с 1 получены точки , по которым построены затем фронтальные проекции .

Если горизонтальный след 1_Н данной прямой l находится в пределах чертежа, то вместо двух вспомогательных прямых m и n достаточно провести одну из них. Тогда секущая плоскость будет определяться двумя пересекающимися прямыми - l и m или 1 и n, а след плоскости пройдет через следы этих прямых, т.е. через lн и mн /или nн /.

12.2 Пересечение прямой с конусом.

Прямая l пересекает плоскость в точке В, а прямая SА в точке С. Прямая ВС будет прямой, по которой секущая плоскость пересекает плоскость основания конуса . Следовательно, вспомогательная секущая плоскость пересекает основание ко-

нуса в точках 1 и 2, которые дают возможность провести образующие. S1 и S2, т.е. прямые по которым плоскость рассекает поверхность конуса. В пересечении их с l находим иcкомые точки пересечения l с поверхностью конуса – К1 и К₂.

12.3 Пересечение прямойсо сферой.

Настоящая задача является примером использования методов преобразования чертежа при решении задач на пересечение прямой с поверхностью. В данной задаче в качестве вспомогательной можно взять любую проецирующую плоскость, так как в сечении сферы любой плоскостью всегда получается окружность. В нашем примере /рис.12.3/ взята горизонтально-проецирующая плоскость . Окружность, что получится в сечении сферы этой плоскостью, спроецируется на плоскость V в виде эллипса

Чтобы избежать сложности построения этой кривой, целесообразно сделать замену фронтальной плоскости проекций V на V1. На плоскость V1 окружность сечения спроецируется в натуральную величину. В системе определяем проекции точек пересечения -

К11 и К21 зная которые находим проекции этих точек в заданной

сиетеме плоскостей проекций , а затем .

12.4 Частные случаи пересечения прямой с поверхностью вращения.

12.4.1 Прямая, перпендикулярная оси поверхности.

Обычно поверхность вращения на чертеже задается таким образом, что ее ось располагается перпендикулярно одной из плоскостей проекций. Поэтому прямая, перпендикулярная оси поверхности, оказывается одновременно и параллельной одной из плоскостей проекций.

Рассмотрим пример, приведенный на рис. 12.4. Как и в любом другом, в данном случае через прямую можно провести две проецирующие плоскости. Сравнивая сложность и трудоемкость получаемых решений, предпочтение следует отдать фронтально-проецирующей /горизонтальной/ плоскости, которая рассечет поверхность по простейшей кривой - окружности. Эта окружность будет проецироваться на плоскость Н в натуральную величину.

В пересечении прямой I с этой ок^жностью получаем искоше точки пересечения прямой с поверхностью- К,и Кг.»,

12.4.2 Прямая пересекает ось поверхности.

При решении такой задачи /рис.12.5/ с целью его упрощения следует также прибегнуть к преобразованию чертежа. Прямую, вместе с поверхностью вращаем около оси поверхности до положения, при котором прямая станет фронталью. Очерки поверхности при этом не изменятся. Проводим через прямую, занявшую новое положение, секущую фронтальную плоскость , которая рассечет нашу поверхность по главному меридиану.

Следовательно, очерк поверхности на плоскости V,будет представлять собой фигуру сечения этой поверхности плоскостью . Определяем точки пересечения К11 и К₂₁. Затем обратным вращением определяем искомые проекции точек пересечения и .

Содержание лекции №12 изложено в учебнике С.А.Фролова на стр.153-154

Тема лекции.

Взаимное пересечение поверхностей. Построение линии пересечения поверхностей методом вспомогательных секущих плоскостей.

Содержание лекции.

Поверхности-посредники. Метод вспомогательных секущих плоскостей. Пересечение поверхности с плоскостью общего положения. Взаимное пересечение поверхностей. Особенности пересечения поверхностей второго порядка. Теорема Монжа.

13.1. Поверхности-посредники.

В задачах на построение линии пересечения заданных поверхностей пользуются вспомогательными поверхностями-посредниками, которые каждую из заданных поверхностей пересекают по какой-то линии. Пересечение этих линий, в свою очередь, дает нам точки, общие для обеих поверхностей, т.е. точки, принадлежащие линии пересечения этих поверхностей. Для упрощения задачи выбирают такие поверхности-посредники, которые пересекали бы заданные поверхности по наиболее простым для построения линиям прямым или окружностям.

Поэтому, в качестве вспомогательных поверхностей-посредников пользуются, либо вспомогательными секущими плоскостями, либо вспомогательными секущими сферами.

На настоящей лекции мы познакомимся с методом вспомогательных секущих плоскостей, на следующей - с методом вспомогательных секущих сфер.

13.2. Метод вспомогатвльных секущих плоскостей.

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 52; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!