Реализация основных этапов построения и анализа парной линейной регрессии

2.1. Оценка параметров. Определение вида модели

Для оценки параметров линейных моделей применяют метод наименьших квадратов (МНК).

Методические замечания

Определение теоретической кривой, приближающей экспериментальные данные, методом наименьших квадратов студенты нашего вуза изучают в курсах «Математический анализ» (1 курс), «Теория вероятностей и математическая статистика» (2 курс) и «Статистика» (3 курс). Поэтому здесь целесообразно освежить материал и несколько углубить его.

Можно использовать один из элементов интерактивного обучения – мозговой штурм. Он займет не более 3-4 минут и позволит выяснить уровень информированности студентов о назначении и методике использования МНК.

Алгоритм проведения:

1. Студентам задаются вопросы, например, следующего содержания:

1) Для чего применяется метод наименьших квадратов?

2) Какая идея лежит в основе подбора параметров теоретической кривой?

3) Что такое система нормальных уравнений?

4) Как она выглядит при оценке параметров линейной модели?

2. Преподаватель записывает на доске все прозвучавшие высказывания так, как они прозвучали из уст участников.

3. После завершения «мозговой атаки» необходимо обсудить все варианты ответов, выбрать среди них правильные, отбросить или скорректировать неверные, дополнить материал недостающими знаниями.

В конечном итоге необходимо воспроизвести совместно со студентами следующую основную информацию об МНК.

МНК позволяет так подобрать коэффициенты модели регрессии и , чтобы теоретические значения исследуемого показателя (линия регрессии) находились на минимальном расстоянии от фактических значений по всей длине данных (рис.1).

Рис. 1. Расположение линии регрессии относительно фактических значений исследуемого показателя

Как видно из рисунка 1, линий регрессии можно провести много. Важно, чтобы выбранная линия более всего соответствовала фактическим данным по всей их совокупности (рис.2).

Рис. 2. Линия регрессии с минимальными отклонениями от фактических данных

Такую линию и позволяет подобрать МНК.

Аналитически, оценки и методом наименьших квадратов находятся путем минимизации функции

.

Минимизация функции Q сводится к математической задаче определения точки минимума двух переменных. Эта задача решается нахождением производных функции по каждой переменной (частных производных) и приравнивании их к нулю:

или

Получилась система из двух уравнений с двумя переменными и , решение которой позволяет получить искомые оценки параметров[1]:

Из последнего уравнения имеем равенство

,

которое указывает на то, что линия регрессии проходит через точку с координатами . Однако, если заменить значения переменных X и Y на их отклонения от средних , , то получим ту же линию регрессии только в новых координатах, центр которых переместится в точку , а формулы для оценки параметров примут вид[2]

Найденное решение существует, если

Это условие называется условием идентифицируемости модели. Оно означает, что не все значения совпадают между собой и со своим средним. Если оно не выполняется, то все точки лежат на одной вертикальной прямой (рис.3).

Рис. 3. Условие идентифицируемости не выполняется

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 54; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!