Вычисление коэффициентов гармонической линеаризации 2 страница

Выражение 4.5.3. представляет собой АФХ линейной части с запаздыванием.

Н.Э. возьмём в виде в виде идеального трёхпозиционного реле (рис. 4.5.2), с эквивалентной ПФ

(4.5.4)

K

tkwk

Wэ(jw)

Для исследования автоколебаний характеристические уравнения систем с запаздыванием и без него представим в виде

; (4.5.5)

Если годографы W_э(jω) и -z(A) пересекаются, то имеются автоколебания. При достаточно малом запаздывании кривые не пересекутся и автоколебаний не будет. Критическое время τ_к запаздывания можно найти без построения годографа W_э(jω), а только по кривым W_л(jω) и

-z(A), что гораздо проще. Поскольку в критическом случае кривая W_э(jω) проходит через крайнюю правую точку кривой -z(A), то можно записать равенство . Из этого выражения можно найти критическую частоту ω_к. Учитывая, что в этой точке фазовый сдвиг равен –π, то из выражения , найдем τ_к

.

·

·

С АM АN

4.6.

автоколебательных режимов.

После гармонической линеаризации характеристическое уравнение имеет вид:

. (4.6.1)

Преобразуем его к виду

. (4.6.2)

АФХ линейной части и НЭ имеют вид:

(4.6.3)

Учитывая, что в соответствии с формулой Эйлера

,

выражение (4.6.2) можно записать в виде

(4.6.4)

Приравнивая в правой и левой частях значения модулей и аргументов, получим

уравнение гармонического баланса фаз и амплитуд:

(4.6.5)

Для перехода к логарифмической форме запишем:

(4.6.6)

В логарифмическом виде

(4.6.7)

Выражение (4.6.7) показывает, что при одновременном выполнении условий а) и б) в САУ возможны автоколебания. Одновременность выполнения уравнений а) и б) состоит в том, что точки пересечения логарифмических амплитудных характеристик 20lg H (ω) – линейной части и 20lg(1/ r (A)) – нелинейного элемента должны лежать на одной вертикали с точками пересечения фазовых характеристик – линейной части и – нелинейного элемента.

С помощью графического решения уравнений (4.6.7) можно найти частоту и амплитуду автоколебаний. При этом возможны два метода.

Шаблоны приведены, например, в (Атлас по ТАУ, под ред Ю.И.Топчеева).

Рассмотрим применение метода на примере линейной части с ПФ

, (4.6.8)

и НЭ типа – люфт (рис. 4.6.1б). Шаблон люфта имеет вид (рис.4.6.1а):

Шаблон строится в том же масштабе, что и ЛЧХ линейной части. Затем шаблон накладывается на ЛЧХ линейной части так, чтобы совпали оси абсцисс и, затем, перемещается вдоль оси частот и при этом определяется точка пересечения и , и , лежащие на одной вертикали.

Если точки пересечения амплитудных и фазовых характеристик находятся на одной вертикали, то автоколебания системы возможны, если нет, то в системе нет автоколебаний.
Из рис. 4.6.2а видно, что возможны два случая подобной ситуации. Для вывода критерия определения устойчивости автоколебаний по логарифмическим характеристикам рассмотрим комплексную плоскость (рис.4.6.2б), на которой построены годограф АФХ W(jω) линейной части и годограф нелинейного элемента. Наблюдаем также две точки пересечения. В соответствии с критерием устойчивости автоколебаний делаем вывод, что в т.1 колебания неустойчивые, а в т.2-устойчивые. В т.2 амплитуда и частота колебаний больше значений соответствующих переменных в т.1.

Анализируя рис.4.6.2а, можно сформулировать следующий критерий.

Для определения устойчивости автоколебаний в системе с неоднозначным нелинейным элементом необходимо дать приращение амплитуде колебаний.

Если с ростом амплитуды , точка пересечения амплитудных характеристик и , лежащая на одной вертикали с точкой пересечения фазовых характеристик и , перейдёт в область над ЛАХ 20lgH(ω), то колебания устойчивы, а если в область под ЛАХ 20lgH(ω) – то неустойчивы.

		w2
	w1

		Рис. 4.6.2 a		Рис. 4.6.2 б

В соответствии с критерием частоте ω ₂ соответствуют колебания устойчивые; а частоте ω ₁ – неустойчивые.

Логарифмические характеристики линейной части и нелинейного элемента строятся раздельно. Причем масштаб по оси ординат должен совпадать, а по оси абсцисс необязательно.

Очевидно, что сразу угадать решение не удастся. Поэтому делают попытки, показанные штриховыми линиями. Последние точки этих пробных прямоугольников М и М₁ не попадают на фазовую характеристику нелинейности. Но если они расположены по обе стороны характеристики, как показано на рис. 4.6.3, то решение находится интерполяцией – путем проведения прямой ММ₁.

В системе с неоднозначной нелинейностью устойчивые автоколебания возникают в том случае, если с ростом амплитуды колебаний точки пересечения характеристик и , лежащие на одной вертикали с точками пересечения и , находятся над ЛАХ линейной части, а если под ЛАХ линейной части – тогда автоколебания неустойчивые.

Для однозначных линейных характеристик и, следовательно, . Уравнение баланса фаз и амплитуд упрощается:

(4.6.9)

Автоколебания возможны только в тех точках, где ФЧХ линейной части пересекает линию ; если не пересекает линию , то автоколебаний нет.

Решение показано на рис. 4.6.4, где обозначено: - ЛАХ линейной части, - ЛАХ нелинейного элемента.

		Рис. 4.6.4

Согласно линейной теории система устойчива, так как имеется запас по фазе γ. Однако на частотах ω₁ и ω₂ выполняются условия (4.6.9) баланса фаз и амплитуд, поэтому возможны автоколебания с амплитудами . Для нахождения устойчивых колебаний перейдем к комплексной плоскости. В соответствии с критерием получим две точки неустойчивых колебаний и две точки устойчивых колебаний.

В точках 1’(ω₁, , 2’’ – неустойчивые колебания.

В точках 1’’ , 2’ – устойчивые колебания.

автоколебания будут устойчивы, если в точке выполнения баланса фаз и амплитуд дополнительно выполняется условие:

, (4.6.10)

т.е. в рассматриваемой точке угловые коэффициенты наклона ЛАХ НЭ и ФЧХ линейной части должны быть разных знаков.

Несимметричные колебания- периодические колебания с постоянной составляющей (рис.4.7.1)

В этом случае входная величина х НЭ ищется в виде:

(4.7.1)

Причин возникновения несимметричных колебаний в общем случае три:

1. Несимметричность нелинейных характеристик;

2. Четная симметричность нелинейных характеристик.

3. Внешнее воздействие с постоянной составляющей;

Пусть нелинейность имеет вид: . (4.7.2)

Уравнение гармонической линеаризации НЭ принимает вид:

; (4.7.3)

где коэффициенты гармонической линеаризации определяются по формулам

, (4.7.4)

, (4.7.5)

а постоянная составляющая

(4.7.6)

где x ₀ – постоянная составляющая, q и q' – коэффициенты гармонической линеаризации

.

В отличии от симметричных колебаний, при несимметричных колебаниях коэффициенты гармонической линеаризации зависят не только от амплитуды и частоты колебаний, но и от постоянного смещения x ₀.

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 67; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!