Фазовое пространство и фазовая плоскость 1 страница

Этот метод применим для систем с уравнениями не более второго порядка.

Переходные процессы, вызванные какими-либо начальными отклонениями координат (при отсутствии внешних воздействий), описываются нелинейными дифференциальными уравнениями динамики в нормальной форме

(1.2.1)

где x_i – координаты состояния системы, - нелинейные функции.

Если координаты состояния x_i принять за координаты n-мерного пространства, то любой комбинации переменных соответствует определенное состояние или фаза системы, поэтому пространство называют фазовым.

		x 3,…, x n
		x 2
		x 1		Рис. 1.2.1

Точку М вn-мерном пространстве, характеризующую действительное (настоящее) состояние системы, называют изображающей. Изменению состояния системы соответствует движение точки по траектории, называемой фазовой. Совокупность фазовых траекторий называют фазовым портретом системы.

Для асимптотически устойчивых систем точка М движется по фазовым траекториям к началу координат.

В случае устойчивых систем точка М движется в область e вокруг начала координат.

По фазовым портретам системы можно судить об устойчивости движения.

Поскольку изображение n-мерного пространства практически невозможно, то наиболее широко распространен метод фазовой плоскости (n=2). Уравнения (1.2.1) при этом имеют вид:

; (1.2.2)

; (1.2.3)

Дифференциальное уравнение фазовых траекторий получим, исключая время из уравнений (1.2.2 и 1.2.3), путём деления уравнения (1.2.3) на уравнение (1.2.2)

; (1.2.4)

Большую информативность фазовых портретов даёт применение в качестве координат переменных и скорости её изменения , причём переменная у откладывается по оси ординат.

Система уравнений (1.2.4) при этом преобразуется к виду:

Фазовая плоскость с этой системой координат обладает следующими свойствами:

а) в верхней полуплоскости (рис.1.2.2) направление движения по траекториям слева направо, т.е. в сторону увеличения x, так как там скорость y >0, а в нижней полуплоскости, наоборот, – справа налево

б) ось x пересекается фазовыми траекториями под прямым углом, т.к. в точках пересечения скорость y =0, т.е. имеет место максимум или минимум величины x.

Рис.1.2.2

Рассмотрим линейную систему, движение в которой описывается уравнением:

Решим уравнение (1.8) относительно старшей производной

Введем новую переменную

, =

Разделим (1.10) на (1.11) и получим дифференциальное уравнение (ДУ) фазовых траекторий

Решение y = f(x) этого ДУ определяет собой некоторое семейство интегральных кривых на фазовой плоскости (x,y), каждая из которых соответствует одному определенному значению произвольной постоянной. Совокупность интегральных кривых (фазовый портрет) представляет собой все возможные фазовые траектории, а значит все возможные виды переходных процессов в замкнутой САУ при различных начальных условиях..

В точках, соответствующих установившемуся состоянию (x=0, y=0), получаем согласно уравнению (1.12) выражение

то есть неопределенное направление касательных к интегральным кривым. Эти точки называют особыми и они классифицируются, т.е. им присвоены названия.

Уравнению (1.8) соответствуют корни характеристического уравнения

(1.14)

В зависимости от знаков и величины коэффициентов a₁ и а₂ возможны шесть случаев корней характеристического уравнения и соответствующих им фазовых траекторий.

Рассмотрим эти случаи подробнее:

1) a₁=0, a₂>0 – корни чисто мнимые.

Линейная система на границе устойчивости (в системе возникают незатухающие колебания).

2) a₁>0, a₂>0, дискриминант D <0 – корни комплексные с отрицательными вещественными частями. Линейная система устойчива, процессы колебательные, затухающие.

3) a₁<0, a₂>0, дискриминант D <0 – корни комплексные с положительными вещественными частями.

Линейная система неустойчива, процессы колебательные расходящиеся.

4) a₁>0, a₂>0, дискриминант D >0 – корни вещественные, отрицательные.
Линейная система устойчива, процессы апериодические.

5) a₁<0, a₂>0, дискриминант D >0 – корни вещественные, положительные.
Линейная система неустойчива, процессы апериодические.

6) a₁>0, a₂<0, D >0 – корни вещественные, разных знаков. Линейная система неустойчива, процессы апериодические.

Рассмотрим фазовые траектории для каждого случая в отдельности.

1. Если рассматривать движение от оси абсцисс, то можно записать , , а величины А и определяются начальными условиями.

Незатухающим колебаниям в системе (рис.1.3.1а) соответствует движение изображающей точки М (рис.1.3.1б) по замкнутым траекториям эллиптического вида.

Точка О (x=0; y=0) – особая точка, центр.

2. Корни комплексные с отрицательными вещественными частями

А₁> А₂>…> А_n

Затухающим колебаниям (рис.1.3.2а) в системе на фазовой плоскости (рис.1.3.2.б) соответствуют спиралевидные траектории, по которым изображающая точка стремится к началу координат. Точка О – особая точка – устойчивый фокус.

3. Корни комплексные с положительными вещественными частями.

Расходящимся колебаниям в системе на фазовой плоскости соответствуют спиралевидные траектории, по которым изображающая точка удаляется от начала координат. Особая точка О – неустойчивый фокус.

4. Корни вещественные, отрицательные.

Переходные процессы апериодические двух типов: монотонные (1) и с перерегулированием (2).

Монотонные процессы получаются при выполнении условий:

Соответствующие им фазовые траектории имеют вид прямых линий (рис.1.3.4б).

Особая точка О – устойчивый узел.

Фазовые траектории, имеющие точку равновесия в виде устойчивого узла, соответствуют апериодическому затухающему переходному процессу.

5. Корни вещественные, положительные.

Выражения такие же, как в предыдущем случае, только α меняет знак

Движение изображающей точки направлено от точки равновесия системы к бесконечной удаленной точке фазовой плоскости. В этом случае положение равновесия системы неустойчивое.

Особая точка О – неустойчивый узел.

6. Корни вещественные разных знаков.

Процессы апериодические неустойчивые (рис.1.3.6а).

Где С- постоянная интегрирования.

Фазовые траектории имеют вид гипербол.

Седло всегда неустойчиво.

Во многих случаях реальные САУ можно считать линейными лишь при малых отклонениях перемененных от их заданных значений в установившемся состоянии. При этом их фазовые портреты соответствуют особым точкам линейных систем. При больших отклонениях из-за наличия нелинейностей характер движений и фазовые портреты могут существенно отличаться от портретов линейных систем, при этом возможны следующие случаи:

1. Устойчивый граничный периодический режим с амплитудой колебаний а₁.

При малых начальных отклонениях система может оказаться неустойчивой. Поэтому согласно линейной теории колебания начинают расходиться, но из-за наличия нелинейности их амплитуда ограничивается предельной величиной а₁. При больших начальных отклонениях система становится устойчивой и колебания затухают, но не до нуля, а до а ₁. Т.е. система генерирует колебания с постоянной амплитудой и частотой, которые называют автоколебаниями.

Картина фазовых траекторий, соответствующая такому случаю имеет вид (рис.1.4.1б).

Устойчивым автоколебаниям на фазовой плоскости соответствует замкнутая траектория, к которой стремится изображающая точка, независимо от амплитуды начальных отклонений. Эта замкнутая траектория представляет первый тип особых линий и называется устойчивый предельный цикл. Размеры предельного цикла по осям координат представляют амплитуду колебаний а₁ и скорость её изменения. Для нахождения периода колебаний нужно решить дифференциальные уравнения системы.

2. Неустойчивый граничный периодический режим с амплитудой а₂. Равновесное состояние (х=0) системы устойчиво в «малом», т.е. и неустойчиво в «большом», т.е. . Здесь граничным процессом является неустойчивый периодический режим собственного движения системы с амплитудой а₂.

	Рис. 1.4.2 б

Система устойчива в «малом» и неустойчива в «большом», неустойчивому периодическому режиму соответствует 2-ой тип особых линий – неустойчивый предельный цикл.

3. Если переходные процессы имеют вид (рис.1.4.3 а), то на фазовой плоскости им соответствуют два предельных цикла (ПЦ): неустойчивый ПЦ с амплитудой а₁ (рис.1.4.3б) и устойчивый ПЦ с амплитудой а₂.

	а2
	а1
		Рис. 1.4.3 а
		Рис. 1.4.3 б бю

В соответствии с рис.1.4.3 б система устойчива в «малом» и автоколебательна в «большом».

4. Апериодические процессы.

В случае апериодических процессов также возможны устойчивые и неустойчивые предельные циклы, при этом при различных амплитудах начальных отклонений процессы могут становиться либо колебательными, либо апериодическими.

В нелинейной системе при больших отклонениях переменных колебательные процессы могут переходить в апериодические (рис. 1.4.4 а,). На фазовой плоскости наблюдается неустойчивый ПЦ (рис.1.4.4.б).

Система устойчивы в «малом» и неустойчива в «большом».

5. Система согласно линейной теории находится на границе устойчивости.

.

Вблизи начала координат наблюдаем фазовые траектории типа «центр». При удалении от начала координат возникают два седла С ₁, С ₂, что приводит к фактической неустойчивости системы. Но может иметь место и устойчивый предельный цикл А₁С₁А₂С₂, который образован двумя сепаратрисами С₂А₁С₁ и С₁А₂С₂.

Линии и , разделяющие фазовые траектории разных типов называют сепаратрисами – третий вид особых линий.

6. Для ряда нелинейных систем с зонами нечувствительности (рис.1.4.6.а), люфтом, сухим трением характерно отличие от рассмотренных случаев, состоящее в том, что в них приближение к линейной системе наступает, при достаточно больших отклонениях переменных, т.е. их можно рассматривать как линейные в «большом», а не в «малом».

Наличие зоны нечувствительности проявляется в том, что установившемуся состоянию равновесия при данной нагрузке соответствует не одна точка на фазовой плоскости (рис.1.4.6.б), а отрезок состояний равновесия, т.е. изображающая точка попадает не в начало координат, а на отрезок покоя М₁М₂, при этом система не обладает асимптотической устойчивостью. Длина этого участка зависит от ширины зоны нечувствительности.

Глава 2. Фазовая плоскость систем, описываемых уравнениями с неаналитической правой частью

В дифференциальных уравнениях с неаналитической правой частью, последняя не раскладывается в ряды по степеням аргументов (х,у).

Рассмотрим систему, которая содержит объект с самовыравниванием, безынерционный чувствительный элемент, усилитель мощности (золотник) и серводвигатель постоянной скорости.

j - регулируемая переменная

h - выходная величина чувствительного элемента

s - выходная величина У.М.

m - регулирующее воздействие

В общем случае объект управления с самовыравниванием описывается уравнением:

Где:

- постоянная времени,

- коэффициент самовыравнивания,

- если r>0 – объект статически устойчив, и задачей регулятора является обеспечение требуемого качества управления;

-если r<0 – объект статически неустойчив,

-если r=0 – объект нейтрален.

В двух последних случаях задачами регулятора являются: во-первых, обеспечение устойчивости, во-вторых, обеспечение требуемого качества управления.

Рассмотрим случай нейтрального объекта т.е. r=0, тогда:

. (2.1.1)

Уравнение серводвигателя постоянной скорости (2.1.2)

Уравнение золотника с жесткой обратной связью (2.1.3)

γ – коэффициент жесткой обратной связи

Уравнение безынерционного чувствительного элемента (ЧЭ)

(2.1.4)

d - коэффициент, характеризующий чувствительность ЧЭ

Исключим промежуточные переменные μ, σ, η

Для этого, продифференцировав уравнение (2.1.1), решим (2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4) относительно старшей производной выходной переменной и получим:

; ; (2.1.5)

Исключим переменную σ:

Таким образом,

С учетом изложенного

(2.1.6)

Заменим переменные

(2.1.7)

Учитывая что , (2.1.8)

исключим в (2.17) переменную время t. Для этого разделим выражения (2.1.7) на (2.1.8):

(2.1.9)

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 52; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!