Фазовое пространство и фазовая плоскость 2 страница

Проинтегрируем выражения (2.1.9), получим уравнения интегральных кривых, определяющих траектории на фазовом портрете

(2.1.10)

Уравнение линии переключения получим, заменяя в условии знак неравенства знаком равенства:

Рассмотрим фазовый портрет системы. Область справа от линии переключения I-I заполнена траекториями (параболами) семейства 2.1.10а, а слева – семейства 2.1.10б.

При отсутствии внутренней жесткой обратной связи линия переключения совпала бы с осью ординат и точка М, двигаясь по траектории С₁С₂С₃₀ семейства 2.1.10а, переходила бы в точке С₃₀, на симметричную траекторию С₃₀С₁ семейства 2.1.10б. Этой замкнутой траектории соответствовали бы автоколебания в системе. Из-за наличия внутренней обратной связи (), переход с параболы семейства 2.1.10а на параболу семейства 2.1.10б происходит на линии переключения в точке С₃ и, двигаясь по параболе С₃С₄С₅, а в точке С₅ происходит переход на траекторию семейства 2.1.10а и т.д. С каждым полуколебанием изображающая точка приближается к началу координат – к равновесному состоянию. Это соответствует о затухающим колебаниям в системе. Однако, при попадании точки М на отрезок А₁А₂, характер движения становится существенно иным.

Точки А₁ и А₂ являются точками пересечения линии переключения I-I с параболами семейства 2.1.10а и 2.1.10б, проходящими через начало координат.

Если изображающая точка М попадает на особый отрезок А₁А₂, например, в точку а₀, то в дальнейшем изображающая точка скользит вдоль линии переключения из-за непрерывного реверсирования серводвигателя.

Начиная с точки А₁, начинается скользящий режим. Скольжение происходит по линии переключения до начала координат.

Найдем закон движения в скользящем процессе. На линии переключения уравнение движения будет иметь вид: . (2.1.12)

,. (2.1.13)

– является решением уравнения (2.1.12).

Значения x ₀ и t отсчитываются с момента попадания точки М на линию скользящего режима.

Особенность скользящего режима заключается в том, что в данном режиме нелинейная колебательная система 2-го порядка вырождается в линейную систему первого порядка. При этом закон движения в скользящем режиме не зависит от параметров прямой цепи системы и определяется только коэффициентом обратной связи.

Рассмотрим фазовую плоскость системы, в которую входит объект управления с самовыравниванием, безынерционный чувствительный элемент, золотник с ЖОС и серводвигатель постоянной скорости с симметричной мертвой зоной.

В качестве примера рассмотрим регулятор давления воздуха в баллоне.

1 – баллон

2 – заслонки

3 – электродвигатель

4 – сильфонный манометр

5 – релейно-контактное устройство

Количество поступающего в баллон 1 воздуха регулируется заслонками 2, которые приводятся в движение электродвигателем 3. Управление электродвигателем осуществляется релейно-контактным устройством 5, играющим роль золотника, а чувствительным элементом служит сильфонный манометр 4.

Уравнение объекта управления с самовыравниванием

(2.2.1)

Уравнение серводвигателя с симметричной мертвой зоной:

	Рис. 2.2.2

Уравнение безынерционного чувствительного элемента:

(2.2.3)

Уравнение золотника с ЖООС:

(2.2.4)

Избавимся от промежуточных переменных μ, σ, η

Продифференцируем уравнение (2.2.1)

Избавимся от σ:

Таким образом условия переключения имеют вид:

(2.2.5)

Введем новые переменные:

(2.2.6)

. (2.2.7)

Исключим переменную t:

Рассмотрим на примере выражения (2.2.10) процедуру интегрирования

Заменим в условиях определения знаки неравенства равенствами

и получим две линии переключения:

I-I – линии переключения (2.2.17)

II-II – линии переключения (2.2.18)

Область справа от линии переключения I-I заполнена фазовыми траекториями семейства 2.2.11. Область слева от линии переключения II-II заполнена фазовыми траекториями семейства 2.2.13, а между линиями переключения – прямыми семейства 2.2.12.

Кроме двух линий переключения I-I и II-II появляются особые прямые III и IV в семействе (2.2.11) и (2.2.13), особенность их в том, что фазовые траектории, находящиеся в области над или под ними не могут перейти через них.

Рассмотрим движение точки М семейства (2.2.11), .

В точке С₁ серводвигатель выключается и движение в системе происходит за счет инерции объекта по траектории С₁С₂ семейства (2..212). В точке С₂ происходит обратное включение серводвигателя, он реверсируется и движение идет по траектории С₂С₃ семейства (2.2.13). В точке С₃ серводвигатель выключается, и изображающая точка по прямой (2.2.12) попадает на отрезок покоя m₁m₂, и движение заканчивается. Система устойчива, но наличие отрезка покоя, соответствующего состоянию равновесия, может привести к увеличению установившейся ошибки сверх требуемой величины.

В рассмотренном ранее случае система описывалась дифференциальным уравнением, в котором правая часть является однозначной функцией своих аргументов. Однако, в нелинейностях типа люфт, зазор или сухое трение правая часть является неоднозначной функцией аргументов и не может быть отражена на обычной фазовой плоскости (на одном листе). В этих случаях используется многолистное фазовое пространство.

Рассмотрим систему, содержащую объект без самовыравнивания (2.3.1), серводвигатель постоянной скорости (2.3.2), золотник (2.3.4) и безынерционный чувствительный элемент(2.3.3).

Уравнение объекта

. (2.3.1)

Уравнение чувствительного

элемента

(2.3.4),

представляет собой биссектрису

координатного угла.

Предположим, что между ЧЭ и золотником имеется люфт. Величина люфта равна m, тогда график люфта (рис. 2.3.3) выглядит следующим образом:

Объединяя уравнения (2.3.1), (2.3.2), (2.3.3), (2.3.5), исключим промежуточные переменные m, s, h, тогда получим:

(2.3.6)

Исключим переменную s.

В результате получим систему уравнений:

(2.3.9)

Произведём замену переменных

(2.3.10)

(2.3.11)

Избавимся от времени t, разделим (2.3.10) на (2.3.11), получим дифференциальные уравнения фазовых траекторий:

(2.3.12)

После интегрирования получим два семейства парабол

Как видно из рис. 2.3.4 фазовые траектории семейства 2.3.13 и 2.3.14 перекрывают друг друга в диапазоне , что создает неоднозначность в построении фазового портрета системы. Для устранения неоднозначности в этой полосе, фазовые траектории строят на разных листах, потом их накладываются один на другой так, чтобы совпали координатные оси.

		Рис. 2.3.5

Если бы не было люфта, то точка М, двигаясь по траектории С₁С₂ семейства (2.3.13), переходила бы на траекторию семейства (2.3.14) в точке С₂ и движение на фазовом портрете происходило бы по замкнутой траектории (устойчивый предельный цикл), а в системе бы возникали автоколебания. Из-за наличия люфта точка М переходит с одного листа на другой только на границах соответствующего листа x=0.5 e и x= -0.5 e. При этом получаемая расходящаяся траектория соответствует неустойчивым процессам в системе (расходящиеся колебания).

В итоге делаем вывод, что люфт – явление вредное и, обычно, приводит к автоколебаниям в системе.

- метод связан с методом фазовых плоскостей.

Исходной точке О₁ соответствует определенное расстояние от до начала координат. Если обозначить расстояние ОО₁=S, а расстояние от начала координат до последующий точки обозначить через S` (ОО<sub>2</sub>=S`), то точечному преобразованию полупрямой ОР можно поставить в соответствие на плоскости S`S некоторую кривую S`=f(S), называемую функцией последования.

Неподвижным точкам точечного преобразования (предельного цикла) соответствует преобразование S`=S или биссектриса координатного угла.

Взаимное расположение функции последования и биссектрисы S`=S определяет характер движения в системе.

Если функция последования f(S)= f₂(S) лежит ниже биссектрисы S`=S, то процессы затухающие, система устойчива.

Если f(S)=f₁(S) лежит выше биссектрисы S`=S, то процессы расходящиеся, система неустойчива (автоколебаний нет).

Если f(S) пересекает биссектрису S`=S, то возможны автоколебания.

Для определения характера движения (устойчивости) можно построить лестницу Ламерея.

Для этого необходимо отложить на оси абсцисс значение S, затем провести вертикальную прямую до кривой последования и найти значение S’. Принять это значение S’ за новое S (провести горизонтальную линию до биссектрисы S’= S) и повторить построение, и по которой изображающая точка стремится к началу координат, или удаляется от него.

В точке К (рис.3.3а) выполняется условие - колебания устойчивы.

В точке N выполняется условие , что соответствует неустойчивым автоколебаниям.

Функцию последования S`=f(S) в большинстве случаев легче представить в параметрической форме. При этом в качестве параметра используется время τ – время прохождения изображающей точкой по фазовой траектории расстояния от исходной точки О<sub>1</sub> до последующей точки О<sub>2</sub>. При этом S= f <sub>1</sub>(τ), S`= f ₂(τ). Для определения характера движения в этом случае также строится лестница Ламерея.

Если функции S`(τ) и S(τ) не пересекаются, то автоколебаний нет.

Если S(τ)> S`(τ), то колебания затухающие, система устойчива.

Если S(τ)< S`(τ), то колебания расходящиеся (рис.3.4), система неустойчива.

		Рис. 32
		Рис. 3.5а		Рис. 3.5б
	Рис. 33а
		Рис. 34

Если кривые S= f ₁(τ), S`= f ₂(τ) пересекаются, то возможны автоколебания. При выполнении условия - автоколебания неустойчивы (точка К, рис.3.5а). И автоколебании устойчивы при (точка К, рис.3.5.б).

На рис.3.6 показан случай двух точек пересечения кривых S= f ₁(τ) и S`= f ₂(τ). При этом в точке K – неустойчивый предельный цикл, в точке N – устойчивый предельный цикл.

Система устойчива в «малом» и автоколебательна в «большом».

Функция последования находится путем интегрирования дифференциальных уравнений системы. Этот метод также как и метод фазовой плоскости используется для систем не выше второго порядка.

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 152; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!