Вычисление коэффициентов гармонической линеаризации 1 страница

Рассмотрим идеальное 3-х позиционное звено.

Нечетно-симметричные характеристики можно интегрировать на интервале 0<φ<π.

(4.2.1)

(4.2.2)

Рассмотрим реальное 3-х позиционное реле.

	j1     j2

		p   2p φ = ωt

Если m=1 Þ характеристика идеальна; q’(A)=0

Для всех однозначных (беcпетлевых) нелинейностей q’(A)=0, а эквивалентная передаточная функция J(A)=q(A).

Рассмотрим вычисление q(A) для прямой линии: F (x)= kx

Т.е. гармоническая линеаризация линейной функции дает коэффициент k.

их устойчивости

Рассмотрим систему с одной нелинейностью с линейной частью, обладающей фильтрующими свойствами.

		Рис. 4.3.1

Уравнение нелинейности y = f (x); линейной части для свободного движения: (4.3.1)

Уравнение замкнутой системы:

При условии, что x (s) изменяется по гармоническому закону, после гармонической линеаризации можно записать:

(4.3.2)

С учётом (4.3.2) можно записать характеристическое уравнение замкнутой системы в виде (4.3.3)

или после подстановки (4.3.1) в виде

(4.3.4)

В выражении (4.3.4), выделяя действительную и мнимую части, получим:

(4.3.5)

Приравнивая действительную и мнимую части нулю, получаем систему

. (4.3.6)

Затем система уравнений (4.3.6) решается относительно двух неизвестных: амплитуды А и частоты w автоколебаний

Если амплитуда и частота получатся комплексными или мнимыми числами, то периодический процесс в системе отсутствует, а если действительными числами – то присутствует.

После определения параметров периодического процесса необходимо проверить его устойчивость. Данная задача в системе, описываемой уравнением высокого порядка весьма сложна, поэтому воспользуемся приближенными методами. Дадим малые отклонения А и w от их значений в периодическом режиме А +Δ А и ω +Δ ω.

Исходное движение . (4.3.7)

Варьированное движение (4.3.8)

Выражение (4.3.8) описывает колебательный процесс вблизи исходного периодического режима (4.3.7).

Из анализа (4.3.8) следует: что для устойчивости автоколебаний необходимо, чтобы DА и x имели одинаковые знаки. При DА> 0 и x> 0 варьированный процесс будет затухать и стремиться к исходному. При DА< 0 и x< 0 уменьшенный варьированный процесс будет расходиться и стремиться к исходному.

Для увязывания этого условия с параметрами линейной части и нелинейного элемента (для вывода критерия) воспользуемся символической формой записи периодического режима.

Исходный режим (4.3.5) представим в виде:

. (4.3.9)

Варьированный режим

(4.3.10)

Аналогично выражению (4.3.5) для варьированного движения можно записать:

(4.3.11)

Разложим (4.3.11) в ряд Тейлора в окрестности А и w, рассмотрим только линейный член и получим:

(4.3.12)

* – означает подстановку значений А и ω, соответствующих исследуемому автоколебательному режиму.

Выделим в выражении (4.3.12) мнимую и действительную часть, почленно приравняем к 0, исключим из полученных уравнений Δ ω и, разрешив эту систему относительно x, найдем в результате выражение, связывающее параметры ζ и Δ А.

(4.3.13)

Поскольку знаменатель функция четная, то знак ζ зависит только от числителя, тогда критерий устойчивости автоколебаний имеет вид:

(4.3.14)

Для определения автоколебаний алгебраическим методом необходимо:

1) записать характеристическое уравнение замкнутой системы;

2) выделить в нем действительную и мнимую части и приравнять их к нулю;

3) разрешить эту систему относительно амплитуды и частоты автоколебаний;

4) найти частные производные действительной и мнимой частей по А и w и подставить в выражения производных значения А и w.

5) Проверить выполнение условия (4.3.14)

и их устойчивости (метод Гольдфарба Л.С.)

Этот метод графоаналитический и представляет собой применение метода гармонической линеаризации к исследованию устойчивости нелинейных систем на основе частотных характеристик (с использованием критерия Найквиста).

Линейная часть (рис.4.3.1)описывается ПФ: .

Уравнение Н.Э y = F (x). При x = Asinωt, После гармонической линеаризации получим: ,

где эквивалентная ПФ НЭ

,

коэффициенты гармонической линеаризации

ωt = φ.

Характеристическое уравнение замкнутой линеаризованной системы имеет вид:

, (4.4.2)

или

. (4.4.3)

Обычно характеристики нелинейного элемента представляют в нормированном виде:

, . (4.4.4)

где N- коэффициент, учитывающий параметры нелинейной характеристики.

Например, рассмотрим характеристики идеального трёхпозиционного реле (рис.4.4.1, 4.4.2).

На комплексной плоскости годограф представляет прямую линию на действительной оси т.к. . Поскольку J₀(А/С) имеет нелинейный вид (рис.4.4.1), то годограф удобнее представлять в виде (рис.4.4.2).

Характеристическое уравнение в случае нормированной характеристики имеет вид:

, (4.4.6)

коэффициент N – обычно относят к линейной части.

Для определения автоколебательных режимов характеристическое уравнение (4.4.2) или (4.4.6)

представляют в виде:

а) б) (4.4.7)

В соответствии с выражением (4.4.7а) на комплексной плоскости строят два годографа:

- АФХ линейной части W (jω) и годограф обратной амплитудной характеристики нелинейного элемента: – Z (A);

- в случае нормированных нелинейных характеристик NW (jω) и – Z₀ (A/C).

Если годографы не пересекаются, то

Рис. 4.4.3 автоколебаний в системе нет.

ПФ разомкнутой линеаризованной системы обозначим через:

(4.4.8)

и построим годограф этой функции (рис.4.4.4)

По критерию Найквиста, согласно линейной теории, система находится на границе устойчивости (в ней возникают незатухающий периодический режим), если годограф АФХ W_э(jω,A) проходит через точку с координатами (-1, j0).

	-1

Рис.4.4.4

Дадим увеличение амплитуде (А +Δ А). Построим годограф функции W_э(jω, A +Δ A), он не охватывает точку (–1; j 0), значит, система по Найквисту устойчива, в устойчивой системе амплитуда колебаний уменьшается, следовательно, годограф АФХ вернется в исходное состояние.

Уменьшим амплитуду колебаний (А –Δ А). Годограф АФХ в этом случае охватывает точку (–1; j 0), следовательно, система становится неустойчивой по Найквисту, а в не устойчивой системе амплитуда колебаний увеличивается, и годограф АФХ вернется в исходное состояние.

Таким образом, при изменении амплитуды колебаний в ту или иную сторону годограф АФХ (W_э(jω, A +Δ A)) возвращается в исходное состояние, что и свидетельствует об устойчивости периодического режима или автоколебаний в данной точке.

Т.о. условие устойчивости автоколебаний можно записать в виде:

или (4.4.9)

Вернёмся к рис.4.4.3. Дадим увеличение амплитуде в точке К, (A+DA): K₁. Точка K₁ годографом АФХ линейной части не охватывается, следовательно линеаризованная система устойчива и амплитуда колебаний будет убывать, стремясь к величине А.

Дадим уменьшение амплитуды колебаний (A–DA): K₂ Годограф АФХ линейной части охватывает точку K₂, следовательно, система неустойчива, амплитуда колебаний возрастает и стремится к величине А. Поэтому колебания в точке К устойчивы.

Рассмотрим точку L. Рассуждая аналогично получим в этой точке неустойчивый периодический режим или неустойчивые автоколебания.

Оценивая свойства нелинейной системы, можно сделать следующий вывод: система устойчива в «малом» и автоколебательна в «большом».

Пример.

Для иллюстрации возможных ситуаций рассмотрим систему (рис.4.3.1) с нелинейностью (рис. 4.4.5) типа люфт или сухое трение. Рассмотрим различные случаи в зависимости от вида годографа линейной части.

				Рис. 4.4.5

Случай1.

Годографы не пересекаются, следовательно, автоколебаний нет. Вывод: устойчивая линейная система с учетом нелинейности остается устойчивой.

Случай 2.

Cлучай 2. Годографы пересекаются, в точке К- неустойчивый периодический режим. Вывод: неустойчивая линейная система с учетом нелинейности становится устойчивой в «малом» и неустойчивой в «большом».

Случай 3.

Годографы пересекаются в двух точках.

В точке K – неустойчивый периодический режим.

В точке L – устойчивые автоколебания.

Устойчивая линейная система с учетом нелинейности становится устойчивой в «малом» и автоколебательной в «большом».

Случай 4.

Линейная часть имеет астатизм второго порядка (n=2).

Годографы пересекаются в одной точке, автоколебания устойчивы.

Случай 5.

Годографы не пересекаются, автоколебаний нет. Неустойчивая линейная система с учетом нелинейности остается неустойчивой.

.

Wл(s)

		Рис. 4.5.1

З.Ч.З. – звено чистого запаздывания.

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 56; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!