Электромагнетизм 1 страница

Решение

Решение

Решение

1. Угловую скорость ω найдем, взяв первую производную от угла поворота по времени:

. (1)

В момент времени t = 4 сек модуль угловой скорости равен

(3)

2. Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени:

. (4)

3. Вектор полного ускорения точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как векторная сумма вектора тангенциального ускорения , направленного по касательной к траектории, и вектора нормального ускорения , направленного к центру кривизны траектории (см. Рис. 1):

.

Так как векторы и взаимно перпендикулярны, то модуль вектора полного ускорения определяется по формуле Пифагора

(5)

4. Модули векторов тангенциального и нормального и нормального ускорений точки вращающегося тела выражаются формулами

, (6)

где ω – модуль угловой скорости тела (1); ε – модуль его углового ускорения (2).

5. Подставляя выражения a _τ и a_n (6) в формулу (5), находим

. (7)

Подставляя значения , и в формулы (6) и (7), получаем

.

Размерность всех величин здесь очевидна.

Ответ: .

ЗАДАЧА № 3

В баллоне объемом находится водород при температуре . после того, как часть водорода израсходовали, давление в баллоне понизилось на . Определить массу израсходованного водорода, если температура все время была постоянной.

Дано:

Найти:

1. Для решения задачи воспользуемся уравнением Клапейрона - Менделеева, применив его дважды: к начальному и к конечному состояниям газа.

Для начального состояния уравнение имеет вид:

, (1)

а для конечного состояния –

, (2)

где - массы водорода в начальном и конечном состояниях,

– универсальная газовая постоянная,

- молярная масса газа, для водорода

- давление водорода в начальном и конечном состояниях,

- температура водорода,

- объем, занимаемый водородом.

2. Из уравнений (1) и (2) выразим массы

(3)

(4)

3. Вычитая из (3) равенство (4), получим

(5)

4. Подставим числовые значения и вычислим массу израсходованного водорода:

.

4. Анализ размерностей:

Размерности всех величин в системе СИ подставляем в конечную формулу (5)

.

Ответ: .

ЗАДАЧА № 4. Сфера радиусом R =5 см и бесконечная плоскость равномерно заряженные с поверхностной плотностью заряда s ₁=10 нКл / м ² и s ₁=–15 нКл / м ² соответственно. Центр сферы находится на расстоянии ℓ =10 см от плоскости. Найти напряженность электростатического поля в точке А, что находится на расстоянии а= 5 см от поверхности сферы и b= 10 см от плоскости; силу, которая будет действовать на точечный заряд q ₀ = 0,1 нКл, если его поместить в точку А.

Дано: s 1=10 нКл / м 2=10×10–9 Кл / м 2 s 2=–15 нКл / м 2=–15×10–9 Кл / м 2 R =5 см =5×10–2 м ℓ =10 см =10×10–2 м а= 5 см= 5×10–2 м b= 10 см =10×10–2 м q 0 = 0,1 нКл= 0,1×10–9 Кл
Найти: Е, F –?	Решение.

В соответствии с принципом суперпозиции электрических полей, каждый заряд создает поле независимо от нахождения в пространстве других зарядов. Поэтому общая напряженность равна векторной сумме отдельных напряженностей:

Напряженность поля сферы в воздухе на расстоянии r от его центра

(1)

где e₀ – электрическая постоянная; Q ₁ – заряд сферы.

Выразим заряд сферы через поверхностную плотность заряда s ₁ и площадь поверхности сферы (S =4 pR ²), а расстояние r от точки А к центру сферы через расстояние a к поверхности сферы и радиус сферы R

Подставив эти выражения в формулу (1), получим

. (2)

Напряженность поля плоскости равномерно заряженной с поверхностной плотностью s ₂

(3)

Вектор направлен по силовой линии от сферы, так как сфера заряжена положительным зарядом, вектор направлен к плоскости, так как она заряженная отрицательно.

Модуль вектора найдем по теореме косинусов

,

но так как векторы и взаимно перпендикулярны и cos 90^О=0, то

. (4)

Подставив (2) и (3) в (4) и вынося общий множитель 1 / e₀ за знак корня, получим

. (5)

2. Величину силы, которая действует на точечный заряд , который находится в электростатическом поле, находим по формуле

(6)

Проверяем дает ли формула (5) единицу напряженности В/м, а формула (6) единицу силы Н.

Подставим в формулу (5) и (6) значение величин в единицах СИ и сделаем вычисления

Направление силы совпадает с направлением вектора . (так как ), что и показано на рисунке.

Ответ: ,

ЗАДАЧА № 5. Воздушный цилиндрический конденсатор состоит из двух коаксиальных цилиндров радиусами R₁ =1 см и R₂ =3 см. Длина обкладок конденсатора L =50 см. Конденсатор зарядили с разностью потенциалов U =100 B и отключили от источника.

Найти: 1) электроемкость конденсатора; 2) напряженность поля в конденсаторе на расстоянии r =2 см от оси цилиндра; 3) скорость, которую будет иметь протон перемещаясь под действием сил поля от одной обкладки конденсатора к второй; 4) на сколько изменится энергия конденсатора, если пространство между цилиндрами заполнить парафином ().

Дано: ; R1= 1 cм = 0,01 м; R2= 3 см = 0,03 м; L= 50 cм = 0.5 м; r = 2 см =0,02м;
Найти: С; E; u; D W –?	Решение:

Электроемкость воздушного e=1 цилиндрического конденсатора находится по формуле

(1)

где e₀ – электрическая постоянная; L – длина обкладок конденсатора; R ₁ и R ₂ – радиусы цилиндров.

Для нахождения напряженности поля на расстоянии r от оси цилиндров, например, в точке А, используем принцип суперпозиции электрических полей

,

где – напряженность поля в точке А, созданная внутренним цилиндром; – напряженность поля внешнего цилиндра в той же точке. Так как напряженность необходимо найти на расстоянии r < R ₂, то Е ₂ =0 и Е=Е ₁. Допуская, что цилиндр довольно длинный (), необходимую напряженность находим по формуле расчета напряженности поля бесконечно длинного цилиндра

(2)

где - линейная плотность заряда цилиндра. Заряд конденсатора Q, связанный с напряжением U между его обкладками соотношением

Q=CU. (3)

Подставив в формулу (2) выражения для t и Q, получим

(4)

Протон из состояния покоя, перемещаясь под действием сил поля конденсатора, изменяет свою конечную энергию на величину, равную работе сил поля

Т₂ – Т₁=А,

где Т₂ , Т₁ – значения кинетической энергии протона в начальной и конечной точках пути. Если у протона не было начальной скорости, то Т₁=0 и

, (5)

где m – масса протона; u – его конечная скорость.

Работа сил поля находится как произведение заряда протона, равного элементарному заряду q_P= e на разность потенциалов U

A=eU. (6)

Приравняв правые части уравнений (5) и (6), получим

,

откуда (7)

При заполнении конденсатора парафином его энергия изменится на величину

(8)

где W – энергия воздушного конденсатора; W’ – энергия конденсатора с парафином.

Энергия конденсатора с зарядом Q и емкостью С находится по формуле

(9)

Так как конденсатор отключен от источника, то заряд Q на его обкладках при заполнении парафином останется без перемен. Электроемкость конденсатора после заполнения парафином изменится, и будет равняться

тогда (10)

Подставив (9) и (10) в (8) и вынося общий множитель за скобки, получим

или с учетом формулы (3) изменение энергии конденсатора

Подставим числовые значения в расчетные формулы (1), (4), (7) и (11) и выполним вычисления:

Таким образом, энергия отключенного конденсатора при внесении диэлектрика уменьшается (). Это связано с тем, что силы поля конденсатора поляризуют диэлектрик и втягивают его в область большей напряженности.

Ответ: , , .

ЗАДАЧА № 6. Электрическая цепь состоит из двух источников ЭДС e ₁=20 В, e ₂=5 В и трех сопротивлений R _1, R ₂=19 Ом и R ₃=10 Ом. Внутренние сопротивления источников r ₁=2 Ом, r ₂=1 Ом, а через сопротивление R ₁ проходит ток I ₁=0,2 А в направлении, указанном на рисунке.

Найти: 1) сопротивление R ₁ и силы токов, которые проходят через сопротивления R ₂ и R ₃; 2) разность потенциалов между точками А и В.

Дано: e 1=20 В e 2=5 В r 1=2 Ом r 2=1 Ом R 2=19 Ом R 3=10 Ом I 1=0,2 А
Найти: I 2, I 3, R 1, j В– j А–?	Решение:

1. Для расчета разветвленных цепей используют правила Кирхгофа.

Чтобы найти сопротивление и два значения силы тока, необходимо составить три уравнения. Перед складыванием уравнений необходимо произвольно выбрать: а) направление токов (если они не заданы в условии); б) направление обхода контуров. Направление тока I ₁ задано, направление токов I ₂ и I ₃ выберем так, как на схеме, и договоримся обходить контуры по часовой стрелке (пунктирная линия на схеме). Данная схема имеет два узла: А и В. При составлении уравнений по первому правилу Кирхгофа необходимо учесть, что ток, который подходит к узлу, входит в уравнения со знаком плюс, а ток, который выходит от узла – со знаком минус.

По первому закону Кирхгофа для узла А

(1)

Для узла В составлять уравнение не имеет смысла, так как оно сводится к уравнению (1).

Необходимые еще два уравнения получим по второму правилу Кирхгофа. При этом необходимо придерживаться следующих правил знаков: а) падение напряжения (произведение IR или Ir) входит в уравнение со знаком плюс, если направление тока совпадает с направлением обхода контура, в другом случае – со знаком минус; б) ЭДС входит у уравнения со знаком плюс, если она увеличивает потенциал в направления обхода контура (переход происходит от минуса к плюсу в середине источника), в другом случае – со знаком минус.

По второму правилу Кирхгофа для контуров

; (2)

. (3)

Подставив в уравнения (1), (2), (3) значение заданных величин, получим систему уравнений

или

Выразим I ₃ из уравнения (4) и подставим в уравнения (6)

.

Откуда

Знак минус в значении тока I ₂ означает, что направление тока I ₂ было выбрано противоположным действующему. В реальности ток I ₂ протекает от узла В к узлу А.

Из уравнения (4) находим I ₃:

Из уравнения (5) находим R ₁

Ом.

2. Разность потенциалов U=Dj_A,B=j _B–j_A можно найти, если записать закон Ома для неоднородного участка цепи, например

(7)

В законе Ома уже учтено, что положительное направление силы тока совпадает с направлением работы сторонних сил источника, которое соответствует увеличению потенциала. Тогда искомая разность потенциалов

Выполняем вычисления

.

Ответ: I₂= –0,1 A; I ₃=0,3 А; R ₁=83 Ом, .

ЗАДАЧА № 7. Бесконечно длинный прямолинейный проводник расположен перпендикулярно плоскости кругового контура и находится на расстоянии a =5 см от его центра. Сила тока в проводнике , сила тока в контуре , направление тока показано на рисунке. Радиус контура R =3 см. Найти индукцию магнитного поля в центре контура.

Дано:
Найти: В –?

Решение:В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей индукция магнитного поля в центре кругового контура равняется векторной сумме магнитных индукции и полей, которые создаются в этой точке токами и :

Проводник с током расположенный в плоскости рисунка, ток по проводнику идет к наблюдателю. Для нахождения направления вектора проводим силовую линию (пунктирная линия на рис.4), находим ее направления по правилу буравчика и по касательной к ней в заданной точке строим Вектор по правилу буравчика направленный перпендикулярно плоскости рисунка от наблюдателя. На рис.4 показанные направления векторов вектор и в двух проекциях. Так как векторы и взаимно перпендикулярные, модуль вектора

Находим по теореме Пифагора

. (1)

Индукция магнитного поля бесконечно длинного прямолинейного проводника с током в вакууме (или воздухе) находим по формуле

, (2)

где – магнитная постоянная; – расстояние от проводника к точке, где надо найти магнитную индукцию.

Индукция магнитного поля в центре кругового контура радиусом R

Подставляя (2) и (3) в формулу (1) и учитывая, что в данном случае = a, получим:

или (4)

Проверяем дает ли правая часть формулы (4) единицу магнитной индукции (Тл)

Выполним вычисления:

Ответ:

ЗАДАЧА № 8. По бесконечно длинному проводнику, согнутом так, как показано на рисунке, протекает ток I =5 А. Радиус дуги R =5 см. Найти напряженность магнитного поля в точке О.

Дано: I =5 А. R =5 см
Найти: Н –?

Решение. Напряженность магнитного поля в точке О найдем используя принцип суперпозиции полей. В данном случае провод можно разбить на 6 участков: 4 прямолинейных (1,3,5 и 6) и две дуги полукругов (2 и 4). Напряженность магнитного поля в точке О равная векторной сумме напряженностей полей, которые возникли из участков в этой точке

Напряженность магнитного поля, которое создается элементом длины проводника с током, находится по закону Био-Савара-Лапласа

,

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 47; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!