Степенная модель

Пример.

Замечание.

Парная нелинейная регрессия

Общий вид регрессионной модели:

. (1)

Если в уравнении (1) присутствует только один фактор X, а f – нелинейная математическая функция, получим парную нелинейную модель регрессии вида

Y=f(X).

Различают два класса нелинейных регрессий:

1) регрессии, нелинейные относительно объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

2) регрессии, нелинейные как относительно объясняющих переменных, так и относительно оцениваемых параметров.

К первому классу относятся, например:

1) полиномы разных степеней

;

2) равносторонняя гипербола

.

Ко второму классу относятся:

1) степенная функция

;

2) показательная

;

3) экспоненциальная

.

Если модель второго класса с помощью соответствующих преобразований может быть приведена к линейному виду, то она называется внутренне линейной, если же модель не может быть сведена к линейной функции, то она называется внутренне нелинейной (например, и другие). Для оценки параметров таких моделей используются итеративные процедуры.

Работа с такими моделями сводится к их предварительной линеаризации (приведению к линейному виду). Модели их первого класса приводятся к линейному виду простой заменой переменных. Для линеаризации моделей второго класса используют полулогарифмическую функцию или логарифмирование. Полученные таким образом вспомогательные линейные модели оценивают обычным МНК. Затем осуществляют обратный переход к нелинейной функции.

Пусть зависимая переменная y – прибыль в семи различных торговых точках (исходные данные приведены в таблице 1), а фактор x – товарооборот в них.

Требуется: см. пункты 8, 9 в методичке.

Решение:

.

Линеаризация:

,

обозначим lg y=Y, lg x= X, и получим вспомогательную линейную модель вида

Y=A+bX.

Для ее построения воспользуемся таблицей 1 (столбцы X=lg x и Y=lg y) и результатами регрессионного анализа.

Таблица 1

Вспомогательная линейная модель примет вид

Y=-4.346+2.789*X.

Обратный переход к степенной функции:

Степенная модель парной регрессии примет вид:

.

С помощью этой модели рассчитываем все последующие столбцы таблицы 1, начиная с и далее.

Качественные характеристики модели:

–

84.4 % случайной вариации переменной прибыль (y) учтено в построенной модели и обусловлено случайными колебаниями фактора оборот (х);

–

фактические значения прибыли отличаются от рассчитанных на основе степенной модели в среднем на 14 %;

эластичность при степенной связи переменных определяется показателем степени, то есть :

–

при изменении оборота на 1 % прибыль меняется в ту же сторону на 2,789%, изменение эластично.

График:

x y yp     2.464     4.097     10.823     10.823     17.030     28.317     43.527

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 69; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!