Статичний момент.

Статичним моментом відносно осі l матеріальної точки А, які мають масу m і отстоящої від осі l на відстані d, називається величина М_l=md.

Статтичним моментом відносно осі l системи n матеріальних точок з масами m₁, m₂,…,m_n, які лежать в одній площині з віссю і віддалених від неї на відстані d₁, d₂, …, d_n, називається сума

(1)

причому відстань точок, які лежать по один бік осі l, беруться зі знаком плюс (+), а по інший – зі знаком мінус (-). Аналогічно визначається статичний момент системи точок відносно площини.

Якщо маси безперервно заповнюють лінію чи фігуру площини ХОY, то статичні моменти М_Х і М_Y відносно координатних осей ОХ і OY замість сум 1) виражаються відповідними інтегралами. Для випадку геометричних фігур густина вважається рівна одиниці.

А саме: 1) для кривої х=х(s); y=y(s), де параметр s є довжина дуги, маємо:

; (2)

( - диференціал дуги);

2) для плоскої фігури, обмеженої кривої у=у(х), віссю ОХ і двома вертикалями х=а і у=b, одержимо:

; (3)

Приклад.

Знайти статичні моменти відносно осей ОХ і OY трикутника, обмеженого прямими: , х=0, у=0.

Тут . Застосовуючи формули (3), одержимо:

і

.

Момент інерції.

Моментом інерції відносно осі l матеріальної точки маси m, отстоящої від осі l на відстані d, називається число І_l=md².

Моментом інерції відносно осі l системи n матеріальних точок з масами m₁,m₂,…, m_n називається сума

, (4)

де d₁,d₂,…, d_n – відстань точок від осі l. У випадку суцільної маси замість суми одержимо відповідний інтеграл.

Приклад.

Знайти момент інерції трикутника з основою b і висотою h відносно його основи.

Основу трикуника приймаємо за вісь ОХ, а його висоту – за вісь OY.

Розіб’єм трикутник на безкінечно тонкі горизонтальні смужки товщиною dy, які відіграють роль елементарних мас dm. Використовуючи подобу трикутника одержимо:

і

.

Звідси

.

Центр тяжіння.

Координати центра тяжіння плоскої фігури (дуги чи площини) маси М обчислюються по формулах

, , (5)

де М_Х і М_Y – статичні моменти маси. У випадку геометричних фігур маса М чисельно рівна відповідній дузі чи площі.

Для координат центра тяжіння () дуги плоскої кривої y=f(x) (a£x£b), яка сполучає точки А(а; f(a)) i B(b; f(b)), маємо:

, .

Координати центра тяжіння () криволінійної трапеції a£x£b, 0£у£f(x), можуть бути обчислені по формулах

, ,

де - площа фігури.

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 150; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!