Довжина дуги в прямокутних координатах.

Площа в полярних координатах.

Якщо неперервна крива задана в полярних координатах рівнянням r=f(j), то площа сектора АОВ, обмеженого дугою кривої і двома полярними радіусами ОА і ОВ, які відповідають значенням j₁=a і j₂=b, виразиться інтегралом:

. (4)

Приклад.

Знайти площу, заключену всередині лемнискати Бернуллі r²=a²cos2j.

В силу симетрії кривої визначаєм спочатку одну чверть шуканої площі

.

Звідси S=a².

Довжина дуги гладкої кривої y=f(x), яка міститься між двома точками з абсцисами х=а і х=b, рівна

. (5)

Приклад.

Знайти довжину астроїди х^2/3+у^2/3=а^2/3.

Диференціюючи рівняння астроїди, одержим:

.

Тому для довжини дуги одної чверті атроїди маємо:

.

Звідси s=6a.

Довжина дуги кривої, заданої параметрично.

Якщо крива задана рівняннями в параметричній формі х=j(t) i y=y(t) (j(t) i y=(t) – неперервно диференційовні функції), то довжина дуги s кривої рівна

, (6)

де t₁ i t₂ – значення параметра, які відповідають кінцям дуги.

Якщо гладка крива задана рівнянням r=f(j) в полярних координатах r і j, то довжина дуги s рівна

, (7)

де a і b - значення полярного кута в крайніх точках дуги.

Об’єм тіла обертання.

Об’єми тіл, утворених обертанням криволінійної трапеції, обмеженої кривою у=f(x), віссю ОХ і двома вертикалями х=а і x=b, навколо осей ОХ і ОY, виражаються відповідно формулами:

1) ; 2) . (8)

Приклад.

Обчислити об’єми тіл, утворених обертаням фігури, обмеженої однією напівхвилею синусоїди у=sinx і відрізком 0£х£p осі ОХ навколо:

а) осі ОХ і б) осі OY.

a) ;

б) .

Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі ОY фігури, обмеженої кривою х=g(y), віссю OY і двома паралелями у=с і у=d, можна визначати по формулі:

,

яка одержується із приведеної вище формули 1) шляхом перестановки координат х і у.

Якщо крива задана в іншій формі (параметрично, в полярних координатах і т.д.), то в приведених формулах потрібно зробити відповідну заміну змінної інтегрування.

В більш загальному випадку об’єми тіл, утворених обертанням фігури, обмеженої кривими у₁=f₁(x) i y₂=f₂(x) (причому f₁(x)£f₂(x)) і прямими х=а, х=b, навколо координатних осей ОХ і ОY, відповідно рівні

,

.

Об’єм тіла, одержаного при обертанні сектора, обмеженого дугою кривої r=F(j) і двома полярними радіусами j=a, j=b, навколо полярної осі, може бути обчислений по формулі

. (9)

Цією ж формулою зручно кристуватися при відшукуванні об’єму тіла, одержаного обертанням навколо полярної осі фігури, обмеженої деякою замкнутою кривою, заданою в полярних координатах.

Обчислення об’ємів тіл по відомих поперечних перерізах.

Якщо S=S(x) – площа перерізу тіла площиною, перпендикулярною до деякої прямої (яку приймаєм за вісь ОХ), в точці з абсцисою х, то об’єм цього тіла рівний

, (10)

де х₁ і х₂ – обсциси крайніх перерерізів тіла.

Площа поверхні обертання.

Площа поверхні, утвореної обертанням навколо осі ОХ дуги гладкої кривої у=f(x) між точками х=а і х=b, виражається формулою

(11)

(ds – диференціал дуги кривої).

У випадку іншого задання рівння кривої площа поверхні S_X одержується і з формули (1) шляхом відповідної заміни змінних.

Приклад.

Знайти площу поверхні, утвореної обертанням навколо осі ОХ вузла кривої 9у²=х(3-х)².

Для верхньої частини кривої при 0£х£3 маємо: . Звідси диференціал дуги . На основі формули (1) площа поверхні

.

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 77; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!