Площа в прямокутних координатах.

Таким чином

.

Метод інтегрування розкладу

Переноситься на визначений інтеграл автоматично за рахунок використання властивостей визначеного інтегралу.

Контрольні запитання

1. Яка задача приводить до поняття визначеного інтегралу. Сформулюйте і опишіть шлях розв’язку.

2. Що таке Т-розбиття?

3. Що називається визначеним інтегралом?

4. Сформулюйте і доведіть властивості визначеного інтегралу.

5. Які класи функцій є інтегровними?

6. Сформулюйте і доведіть теорему про середнє.

7. Сформулюйте і доведіть теорему Ньютона- Лейбніца.

8. Які методи обчислення визначеного інтегралу ви знаєте?

Тема 6.2. Наближенні методи обчислення означених інтегралів. Невласні інтеграли

Мета. Розглянути наближенні методи обчислення означених інтегралів, що не виражаються в скінченному вигляді, навчитись оцінювати похибку таких обчислень. Дати поняття невласного інтегралу, розглянути деякі методи оцінювання їх збіжності.

План.

1. Метод прямокутників.

2. Метод трапецій.

3. Метод Сімпсона (параболічний).

4. Невласні інтеграли першого роду та їх дослідження.

5. Невласні інтеграли другого роду та їх дослідження.

1. Не для кожної непервної функції її первісна виражається через елементарні функції. Крім того, на практиці зустрічаємось з необхідністю обчислювати інтеграли від функцій, що задані табличним чи графічними способами, а також інтеграли від функцій, первісні яких виражається через елементарні функції досить складно, що потребує великої обчислювальної роботи і з практичної точки зору не раціонально. В цих випадках обчислення означеного інтеграла по формулі Ньютона - Лейбніца або неможливt, або затрудненt, тому застосовують різні методи приближеного інтегрування.

Нехай на відрізку [a,b], a<b задана неперевна функція f(x); треба обчислити dx. Для наочності будемо рахувати, що f(x)³0 на відрізку [a,b]. Розіб’ємо відрізок [a,b] на n рівних частин точками x_i, i=0, 1, 2, …,n-1, n,

a=x₀<x₁<…<x_n-1<x_n=b.

Довжина h кожного з отриманих відрізків [x_i-1,x_i] дорівнює (b-a)/n, тобто h=(b-a)/n.

Позначимо через y_i значення функції f(x) в точках x_i

y₀=f(x₀), y₁=f(x₁), …., y_n-1=f(x_n-1), y_n=f(x_n).

В залежності від того, як апроксимують дану функцію f(x) на кожному з відрізків [x_i-,x_i] дістаємо різні формули для наближеного обчислення інтеграла dx.

При обчисленні інтеграла dx за формулами прямокутників підінтегральна функція заміняється “ступінчатою функцією”, яка на кожному із відрізків [x_i-,x_i] має стале значення, що дорівнює значенню функції f(x) на одному із кінців цього відрізка (див. мал.1).

Нeхай, наприклад, на кожному із відрізків [x_i-,x_i] ступінчата функція приймає значення, що дорівнює значенню функції f(x) на лівому кінці цього відрізка, тобто дорівнює y_i-1. Тоді площа криволінійної трапеції aABb (а відповідно, і значення шуканого інтеграла) приблизно дорівнює сумі площ прямокутників з висотами y_i-1 і основами h=(b-a)/n.

dx

Тобто

dx . (1)

Якщо ж значення ступінчатої функції на кожному із відрізків [x_i-,x_i] співпадають із значеннями функції f(x) на правих кінцях цих відрізків, то дістанемо формулу

dx . (2)

Формули (1) і (2) називаються формулами прямокутників.

2. При обчисленні інтеграла dx за допомогою формули трапецій підінтегральна функція f(x) замінюється функцією, графік якої являє собою ламану лінію, ланки якої з’єднують кінці ординат у_і-1 та у_і (і=1,2,…,n) (Мал. 2).

В цьому випадку площа криволінійнолї трапеції aABb

(а значить, і значення шуканого інтеграла)

приблизно дорівнює сумі площ звичайних трапецій з

основами y_i-1 та y_i і висотою h=(b-a)/n.

dx .

Значить

dx . (3)

Формула (3) називається формулою трапецій.

Очевидно, що із збільшенням числа n точок поділу відрізка [a, b] збільшується точність значення шуканого інтеграла, обчисленого по будь-якій із формул (1) - (3).

Але при одному і тому ж значенні n формула трапецій, як правило, дає краще наближення, ніж формули прямокутників (1) і (2).

Можна показати, що абсолютна похибка наближення, отримана за формулою прямокутників, не більша ніж

,

а за формулою трапеції - не більша ніж

,

де M₁ та M₂ - найбільші значення відповідних функцій на відрізку [a, b].

Приклад. Обчислити наближено за формулою трапецій при n=5 і точно - за формулою Ньютона-Лейбніца.

Порівняти одержані результати, знайшовши абсолютну та відносну похибки.

Розв’язування.

Складаємо таблицю значень підінтегральної функції

i		yi
	0,2	0,9615
	0,4	0,8621
	0,6	0,7353
	0,8	0,6098
		0,5

За формулою трапецій (3) дістанемо

.

За формулою Ньютона-Лейбніца знаходимо точне значення

.

Тепер знаходимо абсолютну похибку наближення

.

і відносну похибку %.

3. Якщо у визначеному інтегралі dx замість функції f(x) взяти квадратний тричлен , графік якого проходить через три точки , то дістанемо наближену рівність

.(4)

Оскільки графік квадратного тричлена проходить через точки A, B, C, то коефіцієнти

цього тричлена задовольняють рівняння:

Використовуючи ці рівняння, вираз, що стоїть у правій частині формули (4) можна

замінити рівним йому виразом .

Після цього формулу (4) перепишемо у вигляді

dx» (5)

Щоб визначений інтеграл обчислити з більшою точністю, відрізок [a, b] розділимо на 2n рівних відрізків і застосувавши формулу (5) до кожного відрізка розбиття дістанемо наближену рівність

dx» , (6)

де

Формула (6) називається параболічною формулою, або формулою Сімпсона.

Абсолютна похибка в наближені рівності (6) оцінюється за допомогою нерівності

,

де f(x) - неперервна на відрізку [a, b], а M₃ обмежує підінтегральну функцію.

4. Нехай функція f(x) означена на проміжку [a; +¥) і інтегровна на відрізку [a; b] при всякому a<b, (це матиме місце, наприклад, якщо функція f(x) неперервна на проміжку [a; +¥)). Тоді визначений інтеграл dx існує при всякому b³a і, отже, він є деякою функцією від b:

I(b)= dx

визначеною на проміжку [a; +¥).

Якщо функція I(b) при b®+¥ має скінченну границю А, то цю границю називають невласним інтегралом1-го роду від функції f(x) на проміжку [a; +¥) і позначають

.

Таким чином, за означенням

(7)

При цьому вважають також, що невласний інтеграл збігається (до числа А).

Якщо ж функція I(b)= dx при b®+¥ не має скінченної границі, то символ також називається невласним інтегралом, однак у цьому разі вважають, що цей невласний інтеграл розбігається. Такому невласному інтегралу не приписують ніякого значення. Щоправда, якщо функція I(b)= dx при b®+¥ має нескінчену границю, то іноді вважають, що невласний інтеграл дорівнює нескінченості (розбігається до нескінченості).

Наприклад,

,

і невласний інтеграл, збігається і дорівнює 1 (збігається до 1).

Якщо функція f(x) неперервна і невід’ємна на проміжку [a; +¥) і невласний інтеграл існує (збігається), то величина цього невласного інтеграла береться за означенням за площу фігури, обмеженої кривою y=f(x), прямою x=a і проміжком [a; +¥) осі Ox.

Аналогічно визначається невласний інтеграл вигляду .

Коли функція f(x) визначена в проміжку (-¥; b) і інтегрована на відрізку [a, b] при всякому a<b, то за означенням

(8)

Невласний інтеграл називається збіжним, якщо існує скінченна границя, що стоїть у правій частині рівності (8) і розбіжним, якщо такої скінченної границі не існує.

Нарешті, якщо функція f(x) визначена на проміжку (-¥; +¥) то, за означенням

(9)

де c - яке небудь стале число, причому невласний інтеграл (9) називається збіжним, якщо збігаються обидва невласних інтеграли, які стоять у правій частині рівності, а якщо принаймі один з цих інтегралів розбігається, то невласний інтеграл називається розбіжним.

Без доведення приймемо деякі ознаки збіжності невласних інтегралів.

1. Коли функція f(x) визначена на проміжку [a; +¥) і інтегровна на відрізку [a; b] при всякому a<b, то невласні інтеграли

i ,

де а₁>a одночасно збігаються або розбігаються.

2. Якщо функція f(x) невід’ємна на проміжку [a; +¥) і інтегровна на відрізку [a; b] при всякому a<b то умова

необхідна і достатня для збіжності невласного інтеграла .

3. Якщо f(x) та g(x) - дві невід’ємні функції на на проміжку [a; +¥) і інтегровні на відрізку [a;b] при всякому a<b і якщо

f(x)£Cg(x)

де C – стала константа, то із збіжності невласного інтеграла dx випливає збіжність невласного інтеграла , (або, що те саме, із розбіжності невласного інтеграла випливає розбіжність невласного інтеграла ).

4. Якщо функція f(x) невід’ємна на проміжку [a; +¥) і інтегровнa на відрізку [a;b] при всякому a<b і якщо

де С - константа, а число a>1, то невласний інтеграл збігається. Якщо ж a£1, то розбігається.

5. Нехай функція f(x) визначена на проміжку [a; +¥) і інтегровнa на відрізку [a;b] при всякому a<b. Якщо невласний інтеграл збігається, то збігається і невласний інтеграл .

Невласний інтеграл називається абсолютно збіжним, якщо збігається інтеграл . Якщо ж невласний інтеграл збігається, а інтеграл розбігається, то невласний інтеграл називається умовно збіжним.

Аналогічно визначаються умовно і абсолютно збіжні невласні інтеграли вигляду .

6. Нехай функція f(x) визначена і необмежена на піввідрізку [a; b) і інтегровна за Ріманом на кожному відрізку [a; b-e), де 0<e<b-a (це матиме місце, наприклад, якщо функція f(x) неперевна на піввідрізку [a; b) і не обмежена на ньому). Оскільки функція f(x) інтегровна на відрізку [a; b-e] при будь-якому 0<e<b-a, то на кожному такому відрізку вона обмежена. Отже, коли точка x наближається до точки b зліва, функція f(x) за модулем може набувати як завгодно великих значень. Це може бути, наприклад, тоді, коли f(x)®+¥ при x®b-0. Тоді визначений інтеграл від функції f(x) на відрізку [a; b] не існуватиме. Однак може існувати скінченна границя

(10)

Якщо ця скінченна границя існує, то її називають невласним інтегралом 2-го роду від функції f(x) на відрізку [a,b] і позначають .

Отже, за означенням

(11)

У цьому разі вважають також, що невласний інтеграл збігається (до числа А). Якщо ж інтеграл при 0<e®0 не має скінченної границі, то символ

також називають невласним інтегралом, однак у цьому випадку вважають, що невласний інтеграл розбігається. Такому невласному інтегралу не приписують ніякого значення.

Щоправда, якщо інтеграл при 0<e®0 прямує до нескінченності, то іноді вважають, що невласний інтеграл дорівнює нескінченності (розбігається до нескінченності).

Аналогічно визначається невласний інтеграл від функції f(x) визначеної і не обмеженої у півінтервалі (a,b] і інтегрованої на кожному відрізку [a+e; b]. За означенням вважають

(12)

Якщо границя, яка стоїть у правій частині рівності існує і скінченна, то невласний інтеграл (12) називається збіжним. Якщо ця границя не існує, або дорівнює нескінченності то невласний інтеграл називають розбіжним. Нарешті, нехай функція визначена на проміжках [a;c) i (c;b], необмежена в кожному з цих проміжків і інтегровна на кожному з відрізків [a; c-e], [c+e; b]. Тоді за означенням

(13)

причому невласний інтеграл називається збіжним, якщо збігаються обидва невласні інтеграли які стоять у правій частині рівності. Якщо принаймі один з цих інтегралів розбігається, то невласний інтеграл називається розбіжним. Встановимо деякі ознаки збіжності невласних інтегралів другого роду.

Ці ознаки багато в чому аналогічні відповідним ознакам збіжності невласних інтегралів з нескінченними проміжками інтегрування.

Якшо f(x), g(x) – дві невід’ємні необмежені функції на піввідрізку [a;b), інтегровні за Ріманом на кожному відрізку [a;b-e) де 0<e<b-a, і якщо

f(x)£cg(x),

де c - константа, то із збіжності невласного інтеграла випливає збіжність невласного інтеграла (або, що те саме, з розбіжності невласного інтеграла випливає розбіжність невласного інтеграла )

2. Нехай f(x) невід’ємна і необмежена на піввідрізку [a;b) і інтегровна на кожному відрізку [a;b-e) де 0<e<b-a.

Якщо існують такі числа a₁Î(a;b), M>0, 0<a<1, що

для а₁£х<b,

то невласний інтеграл збігається.

Якщо існують такі числа a₁Î(a;b), M>0, a³1, що

для а₁£х<b,

то невласний інтеграл розбігається.

3. Нехай f(x) визначена на проміжку [a;b), необмежена на цьому проміжку і інтегровна на кожному відрізку [a;b-e) де 0<e<b-a. Якщо збігається невласний інтеграл , то збігається невласний інтеграл .

Якщо збігається невласний інтеграл , то невласний інтеграл називається абсолютно збіжним.

Якщо ж невласний інтеграл збігається, а невласний інтеграл розбігається, то невласний інтеграл називається умовно збіжним.

Контрольні запитання

1. У чому полягає метод прямокутників наближеного обчислення інтегралів?

2. У чому полягає метод трапецій наближеного обчислення інтегралів?

3. У чому полягає метод Сімпсона наближеного обчислення інтегралів?

4. Що називається невласним інтегралом першого роду?

5. Що називається невласним інтегралом другого роду?

6. Сформулюйте ознаки збіжності для невласного інтегралу першого роду.

7. Сформулюйте ознаки збіжності для невласного інтегралу другого роду.

8. Що називається абсолютно та умовно збіжним інтегралом?

Тема 6.3. Застосування визначеного інтеграла до розв’язування геометричних та фізичних задач

Мета. Навчитись розв”язувати деякі геометричні, механічні та фізичні задачі, використовуючи означений інтеграл та його властивості.

План.

1. Застосування визначеного інтегралу до розв”язування геометричних задач.

2. Застосування визначеного інтегралу до розв”язування задач фізики.

Якщо безперервна крива задана в прямокутних координатах рівнянням y=f(x) [f(x)³0], то площа криволінійної трапеції, обмеженої цією кривою, двома вертикалями в точках х=а і х=b і відрізком осі абсцис а£х£b, визначається формулою:

(1)

Приклад.

Обчислити площу, обмежену кривою х=2-у-у² і віссю ординат.

Тут змінені ролі осей координат і тому шукана площа виразиться інтегралом:

,

де межі інтегрування у₁=-2 і у₂=1 знайдені як ординати точок пересічення даної кривої з віссю ординат.

В більш загальному випадку, якщо площа S обмежена двома неперервними кривими y=f₁(x) i y=f₂(x) і двома вертикалями х=а і х=b, де f₁(x)£f₂(x) при а£х£b, будем мати:

(2)

Якщо крива задана рівнянями в параметричній формі х=j(t), у=y(t), то площа криволінійної трапеції, обмеженої цією кривою, двома вертикалями, відповідними х=а і х=b, і відрізком осі ОХ, виражається інтгералом:

, (3)

де t₁ i t₂ визначаються із рівнянь а=j(t₁) і b=j(t₂) [y(t)³0 на відрізку [t₁, t₂]].

Приклад.

Знайти площу еліпса S, використовуючи параметричне рівняння

.

Завдяки симетрії достатньо обчислити площу однієї чверті, а потім помножити на 4. Вважаючи в рівнянні x=acost, спочатку х=0, потім х=а, одержимо межі інтегрування і . Тому

,

і значить, S=pab.

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 70; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!