Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решений линейных алгебраических систем является метод Гаусса, состоящий в по­следовательном исключении неизвестных. Пусть дана система уравнений

(11)

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду:

(12)

где Коэффициенты называются главными элементами системы. На втором этапе (обратный ход) идет последовательно определении неизвестных из этой ступенчатой системы.

Замечание 1. Если ступенчатая система оказывается треугольной, т. е. , то исходная система (11) имеет единственное решение. Из последне­го уравнения находим из предпоследнего уравнения далее подни­маясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные

Пример 3. Решить систему уравнений

Сначала из второго, третьего и четвертого уравнений исключаем неизвестное х₁. Для этого из второго уравнения вычтем первое, затем первое уравнение умножим на 2 и вычтем почленно из третьего уравнения, а затем снова первое уравнение умножим на 3 и вычтем почленно из четвертого. Получим следующую систему:

Исключим х₂ из третьего и четвертого уравнений последней системы. Для этого сложим второе уравнение системы сначала с третьим, а затем с четвертым. В результате получим равносильную систему:

Теперь исключим переменную х₃ из четвертого уравнения. Для этого третье уравнение умножим на 4, четвертое уравнение умножим на (-5) и сложим почленно полученные уравнения. Получим систему равносильную данной:

Мы получили систему уравнений треугольного вида. Начинаем обратный ход. Из последнего уравнения находим х₄=4, подставляем его в третье уравнение последней системы и находим х₃=3; из второго уравнения системы находим х₂=2, а из первого х₁=1. Решением системы является четверка чисел (1; 2; 3; 4).

Замечание 2. На практике удобнее работать не с системой (11), а с расширенной ее матрицей, выполняя все элементарные преобразования над ее строка­ми. Удобно, чтобы коэффициент был равен 1 (уравнения переставить местами, либо разделить обе части уравнения на ).

Пример 4. Решить систему методом Гаусса:

Решение: в результате элементарных преобразований над расширенной матрицей системы

Исходная система свелась к ступенчатой:

Поэтому общее решение системы: Если положить, например, найдем одно из частных решений этой системы

Пример 5. Решить систему методом Гаусса:

Решение. Произведем элементарные преобразования над строчками расширенной матрицы

системы:

Полученная матрица соответствует системе . Осуществляя обратный ход, находим

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 44; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!