Метод Крамера решения систем линейных уравнений

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Пусть дана система п линейных уравнений с п неизвестными

(5)

или в матричной форме . Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель этой матрицы

называется главным определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной. Найдем решение данной системы уравнений в случае . Умножив обе части уравнения слева на матрицу , получим

Поскольку и , то

(6)

Отыскание решения системы по формуле (1) называют матричным методом решения системы.

Пример 1. Решить систему уравнений матричным методом:

Решение:

Составим союзную матрицу. Для этого вычислим алгебраические дополнения:

Союзная матрица будет следующей: . Вычислим обратную матрицу:

Найдем решение системы по формуле (6):

.

Итак, решением системы будет тройка чисел (1; 2; -1).

Матричное равенство (6) запишем в виде:

(7)

или

(8)

Отсюда следует, что

(9)

Но есть разложение определителя

по элементам первого столбца. Определитель получается из определителя путем замены первого столбца коэффициентов столбцом свободных членов. Итак, .

Аналогично , где получен из путем замены второго столбца коэффициентов столбцом свободных членов, Формулы

(10)

называются формулами Крамера.

Пример 2. Решить систему методом Крамера:

3x₁ + x₂ – 2x₃ = 6;

5x₁ – 3x₂ + 2x₃ = -4;

4x₁ – 2x₂ – 3x₃ = -2.

Находим главный определитель системы:

3 1 -2

∆ = 5 -3 2 = 3∙(-3) ∙ (-3) + 1∙ 2∙ 4 + 5∙(-2) ∙ (-2) – 4∙(-3) ∙ (-2) – 5∙ 1∙(-3) – (-2) ∙ 2∙ 3 =

4 -2 -3 = 27 +8 +20 -24 + 15 + 12 = 58.

Так как главный определитель системы не равен нулю, значит она совместа. Находим определители: ∆x₁, ∆x₂, ∆x₃. Определитель ∆x₁ получается из главного определителя ∆ путём замены в нём первого столбца на столбец свободных членов.

6 1 -2

∆x₁ = -4 -3 2 = 54 – 4 – 16 + 12 – 12 + 24 = 58.

-2 -2 -3

Т.к. ∆x₁ отличен от нуля, значит решение системы единственное. Определитель ∆x₂ получается из главного определителя ∆ путём замены в нём второго столбца на столбец свободных членов.

3 6 -2

∆x₂ = 5 -4 2 = 36 + 48 + 20 – 32 + 90 + 12 = 174.

4 -2 -3

Определитель ∆x₃ получается из главного определителя ∆ путём замены в нём третьего столбца на столбец свободных членов.

3 1 6

∆x₃ = 5 -3 -4 = 18 – 16 – 60 + 72 + 10 – 24 = 0.

4 -2 -2

По формулам Крамера: x₁ = = =1; x₂ = = 3; = = 0.

Итак, решением системы будет тройка чисел (1; 3; 0).

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 37; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!