Методические указания 2 страница

Приклад 2.

Розглянемо орієнтований граф САУ для прикладу 1.

Рис.3.10 Орієнтований граф САУ для прикладу 1

Користуючись орієнтованим графом запишемо наступні рівняння:

Ліва частина рівнянь містить невідомі сигнали, а права частина – відомі.

Перепишемо вищезазначені рівняння у матричній формі:

або у векторній формі:

.

Скористаємося правилом Крамера, попередньо визначивши за допомогою алгебраїчних доповнень.

Спочатку необхідно розкрити згідно із 1-ою колонкою детермінанта:

Потім ми в змозі розкрити кожний детермінант згідно із 1-им рядком детермінанта:

Потім ми в змозі розкрити кожний детермінант згідно із останньою колонкою:

Таким чином, отриманий вираз співпадає із детермінантом передаточної функції прикладу 1.

Чисельник передаточної функції дорівнює значенню детермінанта, який отримано після заміни 5-ого стовпця матриці А на вхідний вектор матричного рівняння. Змінна с відповідає п'ятій змінній невідомого вектору.

Таким чином, кінцевий вигляд детермінанту є таким:

Передаточну функція САУ можна отримати за допомогою програми ППП Matlab:

syms c e f r m n g1 g2 g3 g4 g5 g6 h1 h2

eq1=e-g1*r+h1*f;

eq2=-g2*e+f;

eq3=m-g3*f-g6*r+h2*n;

eq4=n-g4*m;

eq5=c-g5*n;

s=solve(eq1, eq2, eq3, eq4, eq5, e, c, f, m, n)

s.c

ans =

g5*g4*r*(h1*g2*g6+g6+g3*g2*g1)/(1+h2*g4+h1*g2+h1*g2*h2*g4),

де

syms – скорочення для визначення об’єкту;

solve – програма для рішення алгебраїчних рівнянь.

3.3 Проведення аналізу часових характеристик передаточної функції

3.3.1 Проведення аналізу часових характеристик передаточної функції відносно сигналу управління

Для отримання відповідних часових характеристик використовуємо можливості лінійного аналізу ППП Matlab.

Рис.3.11. Структурна схема для проведення аналізу за допомогою ППП Matlab

Рис.3.12. Графік перехідної характеристики для системи, що представлена на рис.3.11

Рис.3.13. Графік функції ваги для системи, що представлена на рис.3.11

Рис.3.14 Розташування нулів та полюсів передаточної функції, що досліджується (рис. 3.11)

3.3.1 Проведення аналізу часових характеристик передаточної функції відносно сигналу збурення

Для отримання відповідних часових характеристик скористаємося можливостями проведення лінійного аналізу за допомогою ППП Matlab.

Рис.3.15 Структурна схема для проведення аналізу за допомогою ППП Matlab

Рис.3.16. Графік перехідної характеристики для системи, що представлена на рис.3.15

Рис.3.17 Графік функції ваги для системи, що представлена на рис. 3.15

Рис.3.18. Розташування нулів та полюсів передаточної функції для системи, що представлена на рис. 3.15.

Висновок:

1. Розглянута САУ із наведеними передаточними функціями є нестійкою так як її часові характеристики (перехідний процес та функція ваги) свідчать про безперервне зростання амплітуд вказаних характеристик

2. Розташування нулів та полюсів передаточної функції САУ також свідчить про те, що САУ нестійка (один полюс та нуль розташовані у правій півплощині S-площини).

3. Часові характеристики та розташування нулів та полюсів, отриманих передаточних функцій САУ свідчить про те, що розгпянута САУ є нестійкою і потребує введення корегувальних пристроїв.

3.4 Аналіз стійкості передаточних функцій заданої САУ

Для виконання завдання на проведення аналізу стійкості скористаємося передаточною функцією, яка була отримана для прикладу 1.

Визначимо показники стійкості передаточної функції щодо сигналу управління.

Для того щоб отримати показники стійкості скористаємося лінійним аналізом (Linear analysis) ППП Matlab.

Дослідимо на стійкість систему представлену на рис.3.19.

Рис.3. 19 Передаточна функція САУ, що досліджується

Рис.3.20 Графік діаграми Nyquist для системи, що досліджується

Рис.3.21 Графік діаграми Nichols для системи, що досліджується

Рис.3.22 Графік логарифмічних частотних характеристик (Bode diagram) для системи, що досліджується

Визначення показників стійкості за модулем і фазою проведемо за допомогою функції “margin”:

hd = tf([1 3 3 3 2],[1 10 33 43 4 -43 -36])

[Gm,Pm,Wg,Wp] = margin(hd);

Transfer function:

s^4 + 3 s^3 + 3 s^2 + 3 s + 2

------------------------------------------------------------.

s^6 + 10 s^5 + 33 s^4 + 43 s^3 + 4 s^2 - 43 s - 36

Warning: The closed-loop system is unstable.

Тобто підпрограма margin вказує на те, що вказана передаточна функція є нестійкою.

Визначимо показники стійкості передаточної функції відносно сигналу збурення.

Рис.3.23 Передаточна функція САУ, що досліджується.

Рис.3.24 Графік діаграми Nyquist

Рис.3.25 Графік логарифмічних частотних характеристик (Bode diagram)

Рис.3.26 Графік діаграми Nichols

Визначення показників стійкості за модулем і фазою проведемо за допомогою функції “margin”:

hd = tf([1 4 5 0 -6 -4],[1 10 33 43 4 -43 -36])

[Gm,Pm,Wg,Wp] = margin(hd);

Transfer function:

s^5 + 4 s^4 + 5 s^3 - 6 s - 4

--------------------------------------------------

s^6 + 10 s^5 + 33 s^4 + 43 s^3 + 4 s^2 - 43 s - 36

Warning: The closed-loop system is unstable.

Тобто підпрограма margin вказує на те, що вказана передаточна функція є нестійкою.

Висновок:

1. Розглянута САУ є нестійкою, так як її частотні характеристики (логарифмічні, діаграми Найквіста і Нікольса), а також запаси стійкості за модулем та фазою вказують на це.

2.Таким чином, розглянута САУ потребує проведення корекції.

3.5 Проведення корекції з метою забезпечення показників стійкості САУ

Під час виконання аналізу було з’ясовано, що вказана САУ є нестійкою завдяки тому, що вона містить нестійку ланку.

Тому на першому кроці необхідно усунути цю проблему (тобто нестійку ланку замінити на стійку).

Рис.3.27 Структурна схема САУ

; ; ; ; ;

Замінимо нестійку ланку із передаточною функцією на .

Визначимо передаточну функцію відносно сигналу керування (вважаємо, що ):

..

Тому нам необхідно визначити нову програму для розрахунку передаточної функції САУ стосовно сигналу керування для ППП Matlab:

ng1=[1]; dg1=[1 1]; sysg1=tf(ng1,dg1);

ng2=[1 0 1]; dg2=[1 2 2]; sysg2=tf(ng2,dg2);

ng3=[1]; dg3=[1 2]; sysg3=tf(ng3,dg3);

ng4=[1 1]; dg4=[1 3]; sysg4=tf(ng4,dg4);

nh6=[1 1]; dh6=[1 2]; sysh6=tf(nh6,dh6);

sys1=series(sysg1,sysg2);

sys2=feedback(sysg3,[1])

sys3= series(sys2,sysg4);

sys4=feedback(sys3,sysh6);

sys5= series(sys1,sys4);

sys6= feedback(sys5,[1]).

ППП Matlab розраховує нову передаточну функцію відносно сигналу керування:

Transfer function:

s^4 + 3 s^3 + 3 s^2 + 3 s + 2

----------------------------------------------------------------.

s^6 + 12 s^5 + 55 s^4 + 129 s^3 + 170 s^2 + 125 s + 40

Для визначення нової передаточної функції відносно сигналу

збурення(вважаємо, що ):

необхідно визначити відповідну програму у Matlab:

ng1=[1]; dg1=[1 1]; sysg1=tf(ng1,dg1);

ng2=[1 0 1]; dg2=[1 2 2]; sysg2=tf(ng2,dg2);

ng3=[1]; dg3=[1 2]; sysg3=tf(ng3,dg3);

ng4=[1 1]; dg4=[1 3]; sysg4=tf(ng4,dg4);

nh6=[1 1]; dh6=[1 2]; sysh6=tf(nh6,dh6);

sys1=series(sysg1,sysg2);

sys2=feedback(sysg3,[1])

sys3= series(sys2,sysg4);

sys4=feedback(sys3,sysh6);

sys7=feedback(sys4,sys1)

ППП Matlab розраховує передаточну функцію відносно сигналу збурення:

s^5 + 6 s^4 + 15 s^3 + 20 s^2 + 14 s + 4

------------------------------------------------------------------.

s^6 + 12 s^5 + 55 s^4 + 129 s^3 + 170 s^2 + 125 s + 40

Проведемо аналіз якості та стійкості для передаточної функції відносно сигналу керування:

Рис.3.28. Структурна схема САУ для проведення аналізу за допомогою ППП Matlab.

Рис.3.29 Часові і частотні характеристики САУ, що досліджується,

за допомогою ППП Matlab

Проводимо визначення показників стійкості САУ (запасів стійкості за модулем і фазою) за допомогою наступної функції ППП Matlab:

hd = tf([1 3 3 3 2],[1 12 55 129 170 125 40])

margin(hd)

Рис.3.30 Визначення запасів стійкості за модулем і фазою САУ, що досліджується, за допомогою ППП Matlab.

Проведемо аналіз якості та стійкості для передаточної функції відносно сигналу збурення:

Рис.3.31Структурна схема САУ для проведення аналізу за допомогою ППП Matlab

Рис.3.32 Часові і частотні характеристики САУ, що досліджується, за допомогою ППП Matlab

Проводимо визначення показників стійкості САУ (запасів стійкості за модулем і фазою) за допомогою наступної функції ППП Matlab:

hd = tf([1 6 15 20 14 4],[1 12 55 129 170 125 40])

margin(hd)

Рис.3.33 Визначення запасів стійкості за модулем і фазою САУ, що досліджується, за допомогою ППП Matlab.

Висновки після проведення аналізу отриманих передаточних функцій:

Після видалення нестійкої ланки ми отримали нову передаточну функцію САУ відносно сигналу керування, яка знаходиться на межі стійкості (2 нулі передаточної функції знаходяться на уявній осі, інші нулі та полюси знаходяться у лівій півплощині S-площини. Нова передаточна функцію САУ відносно сигналу збурення має всі нулі та полюси у лівій півплощині S-площини – вона є стійкою.

Відповідні часові характеристики свідчать про наявність загасання коливань для вказаних передаточних функцій.

Але отримані показники стійкості (запаси стійкості за модулем і фазою) не є оптимальними – Ви знаєте, що запас стійкості для добре побудованої САУ повинен бути близько наступної величини: ЗСМ за лінійною шкалою (або 9,54 dB за логарифмічною шкалою); ЗСФ повинен знаходитись у межах ).

Крім того, перехідні характеристики не є задовільними, а логарифмічні частотні характеристики свідчать про наявність небажаних процесів на частоті 1 рад/с.

Тому отримані передаточні функції САУ потребують введення корегувальних пристроїв.

Проведемо аналіз розташування нулів та полюсів передаточної функції стосовно сигналу керування:

hd = tf([1 3 3 3 2],[1 12 55 129 170 125 40])

zpk(hd)

Zero/pole/gain:

(s+2) (s+1) (s^2 + 1)

--------------------------------------------------------------

(s+4.933) (s+1) (s^2 + 4.37s + 5.048) (s^2 + 1.697s + 1.606)

1. Скорочуємо на (s+1) числівник та знаменник:

(s+2) (s^2 + 1)

--------------------------------------------------------------

(s+4.933) (s^2 + 4.37s + 5.048) (s^2 + 1.697s + 1.606)

2. Визначаємо корені поліномів:

А. (s^2 + 1):

p = [1 0 1]

r = roots(p)

p =

1 0 1

r =

0 + 1.0000i

0 - 1.0000i

В. (s^2 + 1.697s + 1.606)

p = [1 1.697 1.606]

r = roots(p)

p =

1.0000 1.6970 1.6060

r =

-0.8485 + 0.9413i

-0.8485 - 0.9413i

Висновок:

Було б бажано скоротити поліноми, чиї нулі або полюси розташовані близько до умовної осі шляхом послідовного з’єднання попереднього фільтру із відповідною передаточною функцією.

Рис.3.34 Структурна схема САУ із попереднім фільтром

Початкова передаточна функція:

(s+2) (s+1) (s^2 + 1)

----------------------------------------------------------------------.

(s+4.933) (s+1) (s^2 + 4.37s + 5.048) (s^2 + 1.697s +1.606)

Таким чином, ми обираємо наступну передаточну функцію попереднього фільтру:

(s^2 + 1.697s + 1.606)

----------------------------.

(s^2 + 1)

Таким чином, еквівалентна передаточна функція САУ стосовно сигналу керування з урахуванням передаточної функції попереднього фільтру буде такою:

(s+2)

---------------------------------------.

(s+4.933) (s^2 + 4.37s + 5.048)

Для визначення числівника та знаменника еквівалентної передаточної функції САУ використовуємо наступну функцію Matlab:

Чисельник:

Знаменник:

B1 = [1 4.933];

B2 = [1 4.37 5.048];

B3 = conv(B1,B2)

B3 =

1.0 9.303 26.6052 24.9018

Еквівалентна передаточна функція САУ:

hd = tf([1 2],[ 1.0 9.303 26.6052 24.9018])

Transfer function:

s + 2

---------------------------------------.

s^3 + 9.303 s^2 + 26.61 s + 24.9

Визначаємо перехідну характеристику:

hd = tf([1 2],[ 1.0 9.303 26.6052 24.9018])

step(hd)

Рис.3. Перехідна характеристика еквівалентної передаточної функції стосовно сигналу керування з урахуванням передаточної функції попереднього фільтру

Визначаємо запаси стійкості за модулем та фазою:

hd = tf([1 2],[ 1.0 9.303 26.6052 24.9018])

margin(hd)

Рис.3.36 Запаси стійкості за модулем і фазою еквівалентної передаточної функції стосовно сигналу керування з урахуванням передаточної функції попереднього фільтру.

Висновок:

Після введення попереднього фільтру значно покращилася перехідна характеристика передаточної функції САУ стосовно сигналу керування, але показники стійкості САУ не є оптимальними.

Для проведення корекції характеристик САУ вводимо в її структурну схему ПІД (PID) регулятор.

В якості корегувального пристрою пропонується використати ПІД (PID) регулятор, для чого у структурну схему САУ додається блок ПІД регулятор із наступною структурною схемою та передаточною функцією:

Рис.3.37 Структурна схема САУ, що досліджується, разом із ПІД-регулятором

Інші блоки структурної схеми САУ залишаються без змін.

; ; ; ; ;

; ;

Для опису передаточної функції ПІД регулятора ми використовуємо наступну підпрограму ППП Matlab:

% Введення даних щодо ПІД регулятора:

% kp пропорційний регулятор;

% ki інтегральний регулятор;

% kd диференційний регулятор;

kp=2;

kd=4;

ki=6;

sys9=tf([kd kp ki],[1 0])

Передаточна функція PID регулятора:

Transfer function:

4 s^2 + 2 s + 6

-------------------

s

Приводимо передаточну функцію к наступному вигляду:

А. Визначення передаточної функції (при цьому ми обираємо мінімальний вплив ПІД регулятора на САУ за рахунок вибору відповідних коефіцієнтів: kp=0.1; kd=0.1; ki=0.1):

% Визначення передаточної функції

ng1=[1]; dg1=[1 1]; sysg1=tf(ng1,dg1);

ng2=[1 0 1]; dg2=[1 2 2]; sysg2=tf(ng2,dg2);

kp=0.1;

kd=0.1;

ki=0.1;

sys9=tf([kd kp ki],[1 0])

sys1=series(sys9,sysg1);

sys10=series(sys1,sysg2);

% Визначення передаточної функції

ng3=[1]; dg3=[1 2]; sysg3=tf(ng3,dg3);

ng4=[1 1]; dg4=[1 3]; sysg4=tf(ng4,dg4);

nh6=[1 1]; dh6=[1 2]; sysh6=tf(nh6,dh6);

sys2=feedback(sysg3,[1])

sys3= series(sys2,sysg4);

sys4=feedback(sys3,sysh6);

% Визначення еквівалентної передаточної функції САУ разом із ПІД регулятором

sys5= series(sys10,sys4);

sys6=tf(sys5)

Програма для розрахунку еквівалентної передаточної функції САУ разом із ПІД регулятором:

% Визначення передаточної функції

ng1=[1]; dg1=[1 1]; sysg1=tf(ng1,dg1);

ng2=[1 0 1]; dg2=[1 2 2]; sysg2=tf(ng2,dg2);

kp=0.1;

kd=0.1;

ki=0.1;

sys9=tf([kd kp ki],[1 0])

sys1=series(sys9,sysg1);

sys10=series(sys1,sysg2);

% Визначення передаточної функції

ng3=[1]; dg3=[1 2]; sysg3=tf(ng3,dg3);

ng4=[1 1]; dg4=[1 3]; sysg4=tf(ng4,dg4);

nh6=[1 1]; dh6=[1 2]; sysh6=tf(nh6,dh6);

sys2=feedback(sysg3,[1])

sys3= series(sys2,sysg4);

sys4=feedback(sys3,sysh6);

% Визначення еквівалентної передаточної функції САУ разом із ПІД регулятором

sys5= series(sys10,sys4);

sys6=tf(sys5)

Ми отримали наступну еквівалентну передаточну функцію:

Transfer function:

0.1 s^6 + 0.4 s^5 + 0.7 s^4 + 0.9 s^3 + 0.8 s^2 + 0.5 s + 0.2

-------------------------------------------------------------------------.

s^7 + 12 s^6 + 54 s^5 + 126 s^4 + 167 s^3 + 122 s^2 + 38 s

Аналіз розташування нулів та полюсів отриманої еквівалентної передаточної функції:

hd = tf([0.1 0.4 0.7 0.9 0.8 0.5 0.2],[1 12 54 126 167 122 38 0])

zpk(hd)

Zero/pole/gain:

0.1 (s+2) (s+1) (s^2 + s + 1) (s^2 + 1)

-------------------------------------------------------------------.

s (s+5.383) (s+1) (s^2 + 3.617s + 3.53) (s^2 + 2s + 2)

Аналіз перехідної характеристики:

Рис.3.39 Перехідна характеристика

Визначення запасів стійкості перехідної характеристики:

hd = tf([0.1 0.4 0.7 0.9 0.8 0.5 0.2],[1 12 54 126 167 122 38 0])

margin(hd)

Рис.3.40 Показники стійкості САУ

С. Програма для розрахунку еквівалентної передаточної функції САУ разом із ПІД регулятором (при цьому ми змінюємо показники ПІД регулятора):

% Визначення передаточної функції

ng1=[1]; dg1=[1 1]; sysg1=tf(ng1,dg1);

ng2=[1 0 1]; dg2=[1 2 2]; sysg2=tf(ng2,dg2);

kp=50;

kd=1;

ki=1;

sys9=tf([kd kp ki],[1 0])

sys1=series(sys9,sysg1);

sys10=series(sys1,sysg2);

% Визначення передаточної функції

ng3=[1]; dg3=[1 2]; sysg3=tf(ng3,dg3);

ng4=[1 1]; dg4=[1 3]; sysg4=tf(ng4,dg4);

nh6=[1 1]; dh6=[1 2]; sysh6=tf(nh6,dh6);

sys2=feedback(sysg3,[1])

sys3= series(sys2,sysg4);

sys4=feedback(sys3,sysh6);

% Визначення еквівалентної передаточної функції САУ разом із ПІД регулятором

sys5= series(sys10,sys4);

sys6=tf(sys5)

Transfer function:

s^6 + 53 s^5 + 154 s^4 + 156 s^3 + 155 s^2 + 103 s + 2

----------------------------------------------------------------------.

s^7 + 12 s^6 + 54 s^5 + 126 s^4 + 167 s^3 + 122 s^2 + 38 s

Аналіз перехідної характеристики САУ:

hd= tf([1 53 154 156 155 103 2],[1 12 54 126 167 122 38 0])

step(hd)

Рис.3.41 Перехідна характеристика САУ після зміни характеристик ПІД-регулятора

Аналіз стійкості САУ:

hd= tf([1 53 154 156 155 103 2],[1 12 54 126 167 122 38 0])

margin(hd)

Рис.3.42 Показники стійкості САУ після зміни характеристик ПІД-регулятора

Аналіз розташування нулів та полюсів отриманої еквівалентної передаточної функції (мінімальний вплив ПІД-регулятора):

hd = tf([0.1 0.4 0.7 0.9 0.8 0.5 0.2],[1 12 54 126 167 122 38 0])

zpk(hd)

Zero/pole/gain:

0.1 (s+2) (s+1) (s^2 + s + 1) (s^2 + 1)

-----------------------------------------------------------------

s (s+5.383) (s+1) (s^2 + 3.617s + 3.53) (s^2 + 2s + 2)

Аналіз розташування нулів та полюсів (з урахуванням впливу ПІД-регулятора):

hd= tf([1 53 154 156 155 103 2],[1 12 54 126 167 122 38 0])

zpk(hd)

Zero/pole/gain:

(s+49.98) (s+2) (s+1) (s+0.02001) (s^2 + 1)

------------------------------------------------------------------.

s (s+5.383) (s+1) (s^2 + 3.617s + 3.53) (s^2 + 2s + 2)

Після аналізу розташування нулів та полюсів (за умов мінімального впливу та з урахуванням впливу ПІД-регулятора) пропонується наступна передаточна функція попереднього фільтру:

s (s^2 + 2s + 2)

----------------------------.

(s^2 + 1) (s+0.02001)

Таким чином, ми отримали наступну еквівалентну передаточну функцію замкненої САУ:

(s+2) (s+49.98)

----------------------------------------

(s+5.383) (s^2 + 3.617s + 3.53)

Чисельник:

B1 = [1 49.98];

B2 = [1 2];

B3 = conv(B1,B2)

B3 =

1.0 51.98 99.96

Знаменник:

B1 = [1 3.617 3.53];

B2 = [1 5.383];

B3 = conv(B1,B2)

B3 =

1.0000 9.0000 23.0003 19.0020

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 56; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!