Частотные критерии устойчивости

Критерий Михайлова так же, как критерии Гурвица и Рауса, основан на анализе характеристического уравнения системы, поэтому с его помощью можно судить об устойчивости замкнутых и разомкнутых систем.

Подставим в характеристический полином вместо переменного p чисто мнимый корень, который в дальнейшем будем обозначать jw. Тогда получим функцию комплексного переменного

(2.5)

которую можно так же, как амплитудно-фазовую характеристику, представить в виде суммы действительной и мнимой частей:

(2.6)

Действительная часть содержит только четные степени переменного w:

(2.7)

а мнимая часть — только нечетные:

(2.8)

Каждому фиксированному значению переменного w соответствует комплексное число, которое можно изобразить в виде вектора на комплексной плоскости. Если теперь изменять параметр w от 0 до ¥, то конец вектора опишет некоторую линию (рис.2.2, а), которая называется характеристической кривой или годографом Михайлова. По виду этой кривой можно судить об устойчивости системы.

Формулировка критерия Михайлова: автоматическая система управления, описываемая уравнением п-го порядка, устойчива, если при изменении w 0 до ¥ характеристический вектор системы повернется против часовой стрелки на угол np/2, не обращаясь при этом в нуль.

Это означает, что характеристическая кривая устойчивой системы должна при изменении w от 0 до ¥ пройти последовательно через n квадрантов. Из выражений (2.7) и (2.8) следует, что кривая всегда начинается в точке на действительной оси, удаленной от начала координат на величину a_n.

Рис. 2.2. Характеристические кривые.

Характеристические кривые, соответствующие устойчивым системам, имеют плавную спиралеобразную форму и уходят в бесконечность в том квадранте, номер которого равен порядку уравнения (рис.2.2, б.). Если характеристическая кривая проходит n квадрантов не последовательно или проходит меньшее число квадрантов, то система неустойчива (рис.2.2, в.). Если кривая проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости. В практических расчетах удобно применять

следствие из критерия Михайлова: система устойчива, если действительная и мнимая части характеристической функции обращаются в нуль поочередно, т.е. если корни уравнений и перемежаются и и (рис.2.2, г.).

Критерий Найквиста был сформулирован американским физиком X. Найквистом в 1932 г.

Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутого контура системы.

Формулировка критерия Найквиста: замкнутая автоматическая система управления устойчива, если разность между числом положительных (сверху вниз) и отрицательных (снизу вверх) переходов АФЧХ через ось абсцисс слева от точки (-1; ј 0) равна m/2, где m — число правых корней характеристического уравнения разомкнутого контура.

Если АФЧХ начинается или заканчивается на отрезке (-∞; -1), то считают, что характеристика совершает полперехода.

Для использования изложенного приема применительно к астатическим системам, которые содержат интегрирующие звенья, и амплитудно-фазовые характеристики которых начинаются в -∞, характеристику W(јω) предварительно дополняют дугой окружности бесконечно большого радиуса, длина дуги зависит от порядка астатизма. Для определения устойчивости систем с астатизмом порядка , следует дополнить АФЧХ разомкнутой системы дугой окружности бесконечно большого радиуса и затем применить критерий Найквиста.

Частота, при которой амплитудная характеристика А(ω) принимает значение 1, называется частотой среза и обозначается ω_ср. Частоту, при которой фазовый сдвиг

φ(ω) = -π, обозначают ω_π.

Пользуясь введенными обозначениями, можно записать условие нахождения системы на границе устойчивости:

(2.9)

Частота, с которой система колеблется на границе устойчивости, называется критической и обозначается ω_кр.

Порядок выполнения работы.

1. Получить индивидуальное задание – линейную непрерывную систему третьего порядка.

2. Подобрать параметры исследуемой САУ:

2.1. Получить характеристическое уравнение системы, подставить числовые значения.

2.2. Выписать условия устойчивости по критерию Гурвица, получить зависимость K_i(T_j).

2.3. Задаться значениями K_i и T_j, при которых САУ будет устойчива.

2.4. Подставить параметры для устойчивого состояния в характеристическое уравнение. Найти корни получившегося уравнения.

2.5. Собрать схему для моделирования устойчивого переходного процесса САУ (схема системы_1).

2.6. Добавить в разомкнутый контур звено запаздывания, подобрать путем моделирования величину запаздывания так, чтобы система осталась устойчивой (схема системы_2).

3. Исследовать устойчивость системы со звеном запаздывания с помощью критерия Михайлова:

3.1. Получить действительную - и мнимую - составляющие характеристической функции для системы_2.

3.2. Построить годограф Михайлова, убедиться в устойчивости системы по виду годографа.

4. Исследовать устойчивость системы со звеном запаздывания с помощью критерия Найквиста:

4.1. Определить устойчивость разомкнутой системы_1 (третьего порядка) любым критерием (найти количество правых корней).

4.2. По виду АФЧХ разомкнутой системы_2 (со звеном запаздывания) определить устойчивость замкнутой системы_2.

5. Исследовать устойчивость системы со звеном запаздывания, используя алгебраические критерии:

5.1. Заменить в разомкнутом контуре звено запаздывания апериодическим, подобрать путем моделирования величину постоянной времени этого звена так, чтобы вид переходного процесса был приближен к результату п.2.6. (схема системы_3).

5.2. Получить характеристическое уравнение системы_3, подставив числовые значения.

5.3. Доказать устойчивость системы_3 критерием Гурвица.

5.4. Доказать устойчивость системы_3 критерием Рауса.

5.5. Доказать устойчивость системы_3 аналитически, используя критерий Михайлова (следствие).

Содержание отчета