Гармонические колебания и функции комплексного переменного.

От законов электромагнетизма – к свойствам элементов цепей.

По степени отклика на приложенное напряжение все элементы можно разделить на три группы: резистивные, индуктивные и ёмкостные сопротивления. Из закона Ома вытекает основная модель резистивного сопротивления R: . (6)

Закон электромагнитной индукции связывает падение напряжения с динамикой изменения тока через индуктивность L: (7)

Из определения электрической ёмкости С следует, что , откуда получим , или . (8)

Выражения (6), (7) и (8) представляют собой математические модели соответственно резистивного, индуктивного и ёмкостного сопротивлений.

Пример 3.

1. Ток через индуктивность падает за с до равномерно. Найти падение напряжения на индуктивности.

Решение: В соответствии с (7) .

2. Напряжение на конденсаторе ёмкостью 10мкФ в начальный момент времени равно 10В. Чему будет равно напряжение через 0,05с, если ток будет равен 10 А. Обратим внимание, что падение напряжения будет зависеть от направления тока: при заряде он считается положительным, при разряде – отрицательным.

.

Рис.1. Векторная диаграмма для тока, описываемого выражением (1). Вектор вращается против часовой стрелки с частотой .

Как известно, выражение

(10)

может быть ассоциировано с, так называемой, векторной диаграммой (рис.1). Здесь вектор ОА символически изображает так называемый комплекс тока. Если этот вектор вращается относительно своего начала против часовой стрелки с угловой скоростью w, и модуль этого вектора равен , то длина проекции вектора на ось действительных чисел совпадает с (10).

Теория функций комплексного переменного позволяет записать (10) в виде показательной функции

(11).

Известно, что выражение (11) можно записать также в виде (алгебраическая форма записи) и в виде .

Наконец, то же самое можно записать алгебраически:

(12),

где , .

Все приведённые четыре интерпретации гармонических процессов абсолютно идентичны, но при решении конкретных задач одна из них может значительно упрощать расчёты. Например, при выражении напряжения и комплексного сопротивления в колебательной форме ( и ) значительно проще найти ток ). Нужно только помнить, что физический смысл имеет лишь выражения вида (1), которые всегда можно выделить из любой вышеприведенной формы записи.

Пример 4.

Изобразить на векторной диаграмме положение векторов тока и напряжения на нагрузке Z, если , .

Решение:

Длина вектора равна 10В (в условно выбранном масштабе напряжений), начальная фаза .

Длина вектора равна 5А (в условно выбранном масштабе для токов), начальная фаза .

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 54; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!