Елементи нечіткої логіки 1 страница

Згідно одного з найпоширеніших визначень, логіка є аналізом методів міркувань. Вивчаючи ці методи, логіка цікавиться в першу чергу формою, а не змістом доведень в тому або іншому міркуванні. Істинність або помилковість окремих посилань або висновків не цікавить логіку. Її цікавить тільки, чи витікає істинність висновку з істинності посилань. Систематична формалізація і каталогізація правильних способів міркувань – одна з основних завдань логіки.

У логіці з простих висловів шляхом з’єднання їх різними способами можна скласти нові, складніші вислови. Надалі ми розглядатимемо одні тільки істинно-функціональні комбінації, в яких істинність або помилковість нових висловів визначається істинністю або помилковістю складових висловів.

Однією з простих операцій над висловами є заперечення. Наприклад, якщо А є вислів, то заперечення А позначається і читається «не А».

Іншою істинно-функціональною операцією над висловами є кон’юнкція І, яка позначається . Вислів істинний тоді і тільки тоді, коли істинні обидва вислови А. і В. Вислів А і В називають кон’юнктивними членами кон’юнкції .

Операція диз’юнкції над висловами А і В відповідає сполучнику АБО і позначається . У звичайній мові сполучник АБО вживається в двох різних варіантах: розділовому і сполучному. У операції диз’юнкції сполучник АБО має сполучний зміст.

Наступною важливою істинно-функціональною операцією є вислів: ЯКЩО А ТО В. Цей вислів помилковий, коли посилання А істинна, а висновок В помилковий. Позначення вислову ЯКЩО А ТО В наступне: . Цей вираз називають імплікацією.

Вираз «А тоді і тільки тоді, коли В» зазвичай позначається через .Такий вираз називають еквівалентністю. Очевидно, істинно тоді і тільки тоді, коли А і В мають одне і те ж істинне значення.

Нижче наведена таблиця істинності для всіх цих операцій над висловами:

А	В
П	П	Б	П	П	П	П
Б	П	П	Б	П	П	Б
П	Б	Б	Б	П	Б	Б
Б	Б	П	Б	Б	П	П

Символи , &, , , називають пропозиціональними сполучниками. Будь-який вислів, побудований за допомогою цих сполучників, має деяке істинне значення, яке залежить від істинності значень, які складають вислів. Пропозиціональною формою називають вираз, побудований з пропозиціональних букв А, В, С і т. д., за допомогою пропозиціональних сполучників.

Будь-яка пропозиціональна форма визначає деяку істинну функцію, яка графічно може бути представлена таблицею істинності для цієї пропозиціональної форми. Істинною функцією від п аргументів називають будь-яку функцію від п аргументів, яка приймає істинні значення П (правда) та Б (брехня), якщо аргументи її пробігають ті ж значення.

Пропозиціональну форму, яка істинна незалежно від того, які значення приймають пропозиціональні букви, які зустрічаються в ній, називають тавтологією. Пропозиціональна форма є тавтологією тоді і тільки тоді, коли відповідна істинна функція приймає тільки значення П.

Наприклад, наступні пропозиції є пропозиціональною тавтологією:

1) – закон заперечення суперечності;

2) – вираз диз’юнкції через заперечення та імплікацію;

3) .

У свою чергу, пропозиціональну форму, яка помилкова при всіх можливих істинних значеннях її пропозиціональних букв, називають суперечністю, наприклад пропозиціональна форма або .

Слід зазначити, що імплікація має наступну важливу властивість, яка називається правилом відділення (modus-ponens): ЯКЩО істинно і А істинно ТО В істинно. Інакше це правило називають першою формою гіпотетичного силогізму. Під силогізмом мається на увазі дедуктивний висновок, в якому одна думка є необхідним наслідком двох інших. Ця властивість, як було зазначено вище, відіграє важливу роль при моделюванні складних технологічних процесів.

До цих пір розглядали бінарну (булеву) логіку. Тепер перейдемо до логіки з багатьма значеннями. Простором істинності в цій логіці є дійсний інтервал [0, 1]. Ця логіка називається багатозначною або нечіткою і ґрунтується на теорії нечітких множин. Визначимо семантичну функцію істинності цієї багатозначної логіки. Нехай Р є висловом, а – його значенням істинності, при цьому .

Значення заперечення для вислову Р визначається так: . Отже, .

Зв’язка-імплікація завжди визначається наступним чином:

,

а еквівалентність

.

Відзначимо, що розділова диз’юнкція ех, диз’юнкція заперечень або зв’язка Шеффера /, кон’юнкція заперечень і ~→ (не має загальної назви) визначаються як заперечення еквівалентності , кон’юнкції , диз’юнкції та імплікації відповідно. Тавтологія і суперечність відповідно будуть:

.

Більш узагальнено:

.

Визначимо основні зв’язки нечіткої логіки, які найчастіше зустрічаються в двох теоріях нечітких множин.

Логіка, заснована на ( (x), , , –). В цьому випадку диз’юнкцію і кон’юнкцію визначають так:

.

Зрозуміло, що і – комутативні, асоціативні, ідемпотентні, дистрибутивні і не задовольняють закону виключення третього, тобто і , але задовольняють закону поглинання

,

а також законам Де-Моргана:

.

Еквівалентність визначається як

.

Закон виключення диз’юнкції

.

Нижче наведені вирази для 16 зв’язок:

				P

Тут вважається, що і .

Квантори у висловах будуть:

де x – елемент області міркування.

Багатозначну логіку, засновану на ( (x), , , –), зазвичай називають K -стандартною послідовною логікою. У цій логіці зв’язки задовольняють наступним властивостям:

імплікація ;

тавтологія і суперечність:

;

;

зв’язки Шеффера і Пірса

В [11] показано, що багатозначна логіка є розмиттям (у сенсі нечіткості) стандартного числення висловлений (у сенсі принципу розширення). У цій логіці кожному вислову Р ставиться у відповідність нормалізована нечітка множина в [0,1], тобто пара інтерпретується як ступінь помилковості і ступінь істинності відповідно. Оскільки логічні зв’язки стандартного числення висловів є функціоналами істинності, тобто представляються у вигляді функцій, то їх можна розмити. Слід зазначити, що вперше дана логіка була запропонована незалежно Кліїном і Дайнесом.

Логіка, заснована на ( (x), , , –). В цьому випадку диз’юнкція і кон’юнкція визначаються так:

Зрозуміло, що і – комутативні, асоціативні, не ідемпотентні, не дистрибутивні і задовольняють закону

закону Де-Моргана:

а також закону виключення третього

Нижче задані оцінки 16 зв’язок:

				P
p q				р
PQ		Q
p q		q
PQ				Q ≈> P
p q
PQ		P ≈> Q
p q

Тут , , , , /, ex, ~>, позначаються відповідно через , , , , ||, ex, ≈>, . Тавтологія і суперечність задовольняють наступним властивостям:

У позначеннях Заде імплікація відповідає звичайному включенню нечітких множин, ех або ≈> відповідають симетричною Δ і обмеженою || різницям. Дана логіка була відома під назвою логіки Лукасевича (Ƚ).

Слід зазначити, що дві теорії нечітких множин і побудова на їх основі логіки не є єдиними відомими на сьогоднішній день. В зв’язку з цим доцільно дати семантичний аналіз основних відомих багатозначних логік і почати його слід з викладу відомостей з теорії нечітких «сильних» множин, необхідних для формалізації деяких операцій над нечіткими множинами, які необхідні для проведення семантичного аналізу таких логік.

Хай А і В є нечіткими підмножинами чіткого універсуму U; стало традиційним вважати в теорії нечітких множин, що А є підмножиною В, тоді і тільки тоді, коли , тобто , .

Визначення 1.6. Якщо даний [12] нечіткий оператор імплікації → і нечітка множина В з універсуму U, то нечітка «сильна» множина В з В задається функцією приналежності вигляду:

Тоді ступінь, з яким А є підмножиною В, є

.

Вперше це поняття введене А. Н. Меліховим і Л. С. Бер-штейном в книзі «Розпливчата логіка – основа побудови обчислювальних структур для обробки розпливчатої інформації // Однорідні цифрові обчислювальні і інтегруючі структури.

Визначення 1.7. Якщо даний [12] нечіткий оператор імплікації → на замкнутому одиничному інтервалі [0, 1], то

.

Визначення 1.8. За умов визначення 1.6 степінь, з яким нечіткі множини А і В еквівалентні, або степінь їх «еквівалентності» має вигляд

.

У [12] було показано, що для практичної мети, в більшості випадків, доцільно працювати з багатозначними логіками, в яких логічні змінні приймають значення з дійсного інтервалу I= [0, 1],розбиваючи його на 10 підінтервалів, тобто використовуючи безліч

Операції імплікації в аналізованих логіках, представлені в [13], мають наступний вигляд:

1) S*-логіка:

2) S-логіка («стандартна послідовність»):

3) G -логіка («Геделінанська послідовність»):

4) G 43-логіка:

;

5) Ƚ-логіка, або логіка Лукасевича, що вже обговорювалася:

a _Ƚ ;

6) KD -логіка, показана вище:

.

У свою чергу, Z₁–Z₃-логіки, які будуть використані в подальших розділах даної книги, характеризуються наступними операціями імплікації [14]:

7) Z₁-логіка:

8) Z₂-логіка:

9) Z₃-логіка:

Операції імплікації зручно зображати у вигляді таблиць імплікативних переходів для одинадцятизначних логік. Така таблиця для S *-логіки має наступний вигляд (по горизонталі над межею відкладаються значення вихідної логічної посилки, по вертикалі – значення істинності вхідної):

		0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9

		0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 80; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!