Д.1.8 Відображення. Функції

У класичному математичному аналізі поняття функції вводиться в такий спосіб. Нехай – деяка множина на числовій прямій. Говорять так: функція визначена на множині , якщо кожному числу поставлене у відповідність певне число . При цьому називають областю визначення даної функції, а множину всіх значень, що приймає ця функція, – її областю значень.

Якщо розглядати множини довільної природи, то поняття функції необхідно узагальнити й на цей випадок. Нехай задано дві довільні множини та .

Відображенням (однозначним) множини на множину називається закон, за яким кожному елементу ставиться у відповідність певний елемент (не виключається, що може збігатися з ). Таке співвідношення між та записується у вигляді: , , , або найчастіше

.

При цьому називається областю визначення відображення, а – областю його значень.

Відображення породжує множину

,

яке називається графіком відображення.

Відображення і називаються рівними, якщо їх області визначення збігаються і , тобто збігаються й області значень.

Відображення називається постійним, якщо

.

Нехай задано три множини , та . Якщо визначені відображення

і ,

то існує відображення

,

яке визначається рівністю

.

Це відображення називається композицією відображень і позначається

.

Відображення називають ще складним відображенням. Відображення називається багатозначним, якщо деякому відповідає підмножина , що складається більш ніж з одного елемента.

Нехай , тоді йому відповідає елемент такий, що . Елемент b називається образом при відображенні . Сукупність усіх тих елементів , образом яких є даний елемент ,називається прообразом, або, точніше, повним прообразом елемента і позначається .

Нехай ; множина називається образом підмножини й позначається . У свою чергу для кожної множини визначається її (повний) прообраз , а саме: є сукупність усіх тих елементів з , образи яких належать .

Розглянемо тільки деякі самі загальні властивості відображень.

Якщо відображення таке, що , тобто область визначення співпадає з множиною Y, то його називають сюр'єктивним відображенням або сюр'єкцією. Якщо для будь-яких двох різних елементів їх образи та також різні, то таке відображення називається ин'єктивним або ін'єкцією. Відображення, яке одночасно є сюр'єкцією та ін'єкцією, називається бієкцією або взаємно однозначним відображенням між та .

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 78; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!